Demonstre que:
A-(A-B)=A \cap \mathrm{~B}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos analisar a expressão
A - (A - B)
onde, por definição, para quaisquer conjuntos X e Y,
X - Y = \{\,x \mid x\in X \text{ e } x\notin Y\}
ou seja
X - Y = X\cap Y^c.
O enunciado pede que demonstremos
A - (A - B)=A\cap B^c,
mas mostraremos que, na verdade,
A - (A - B)=A\cap B.

Passo 2

Aplicamos a definição de diferença em A - (A-B):
A - (A - B) = A \,\cap\, (A - B)^c.

Passo 3

Como
A - B = A\cap B^c,
podemos usar a lei de De Morgan para o complementar:
(A\cap B^c)^c = A^c \;\cup\; (B^c)^c = A^c \cup B.

Passo 4

Substituindo em A\cap (A-B)^c, obtemos
A - (A - B) = A \cap (A^c \cup B) = (A\cap A^c)\;\cup\;(A\cap B) = \varnothing \;\cup\;(A\cap B) = A\cap B.

Passo 5

Portanto
A - (A - B)=A\cap B,
e não A\cap B^c. A igualdade proposta no enunciado é falsa. Por exemplo, seja
A=\{1,2\},\quad B=\{2\}.
Então
A - B=\{1\},\quad A-(A-B)=\{2\},
enquanto
A\cap B^c=A\cap\{1\}=\{1\},
que é diferente de \{2\}.

Resposta

A igualdade dada é falsa. A demonstração mostra que
A - (A - B)=A\cap B.

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