Demonstre que:
A-(A-B)=A \cap \mathrm{~B}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade de conjuntos
A\setminus\bigl(A\setminus B\bigr)=A\cap B.
O conteúdo principal é álgebra de conjuntos, usando definição de diferença, complemento e Leis de De Morgan.

Passo 2

Pela definição de diferença e complemento, para quaisquer conjuntos X,Y vale
X\setminus Y = X\cap Y^c.
Aplicando em A\setminus\bigl(A\setminus B\bigr) obtemos
A\setminus\bigl(A\setminus B\bigr)=A\cap\bigl(A\setminus B\bigr)^c.

Passo 3

Sabemos que
A\setminus B = A\cap B^c.
Logo, pelo teorema de De Morgan,
\bigl(A\cap B^c\bigr)^c = A^c \cup (B^c)^c = A^c \cup B.

Passo 4

Substituindo em A\cap (A^c\cup B) e usando distributividade mais A\cap A^c=\emptyset, temos
A\cap (A^c\cup B) =(A\cap A^c)\cup(A\cap B) =\emptyset\cup(A\cap B) =A\cap B.

Resposta

A\setminus\bigl(A\setminus B\bigr)=A\cap B.

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