Seja E o elipsóide de centro na origem tal que
  • As seções planas paralelas ao plano X Z são círculos;
  • O plano x=3 é tangente;
  • O ponto \left(\sqrt{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right) pertence ao elipsóide.
Marque a alternativa contendo a equação do elipsóide \boldsymbol{E}.
Escolha uma opção:
a. 9 x^{2}+6 y^{2}+9 z^{2}-36=0
b. 4 x^{2}+4 y^{2}+7 z^{2}-28=0
c. 4 x^{2}+7 y^{2}+4 z^{2}-28=0
d. 4 x^{2}+9 y^{2}+4 z^{2}-36=0
e. 9 x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}-36=0

Passo 1

O enunciado pede a equação de um elipsóide centrado na origem com semi-eixos a, b, c, de modo que as seções paralelas ao plano XZ sejam círculos, o plano x=3 seja tangente e o ponto \bigl(\sqrt{3},\tfrac{2\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\bigr) esteja na superfície. Vamos usar a forma padrão
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1

Passo 2

Para que as seções paralelas ao plano XZ (isto é, para y fixo) sejam círculos, a projeção em x e z deve ter coeficientes iguais. Logo
a^2 = c^2
e podemos tomar c=a.

Passo 3

Como o plano x=3 é tangente ao elipsóide, o maior valor de \lvert x\rvert é a=3. Portanto
a = c = 3.

Passo 4

Substituindo o ponto dado na equação
\frac{(\sqrt{3})^2}{3^2}+\frac{\bigl(\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr)^2}{b^2}+\frac{(\sqrt{3})^2}{3^2}=1
temos
\frac{3}{9}+\frac{\tfrac{4\cdot3}{9}}{b^2}+\frac{3}{9}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{3}+\frac{4}{3b^2}=1 \quad\Longrightarrow\quad b^2=4.

Passo 5

Assim a equação fica
\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}=1 \quad\Longrightarrow\quad 4x^2+9y^2+4z^2-36=0.

Resposta

(d) 4 x^{2}+9 y^{2}+4 z^{2}-36=0

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