I-4 Verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial
na região E .
l.
é o cubo limitado pelos pla
e
2.
é o sólido delimitado pelo paraboloide
e pelo plano
3.
é o cilindro sólido
,
l.
2.
3.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede para cada item (sem resolver ainda).
- Campo e região:
-
. -
é o cubo delimitado por .
Pergunta: verificar que o Teorema do Divergente vale para esse
e esse
, isto é, mostrar que o integral de superfície do fluxo sobre
é igual ao integral triplo do divergente sobre
.
- Campo e região:
-
. -
é o sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano (o plano ).
Pergunta: verificar o Teorema do Divergente para esse
e esse
.
- Campo e região:
-
. -
é o cilindro sólido .
Pergunta: verificar o Teorema do Divergente para esse
e esse
.
Passo 2
O que é preciso lembrar e como vamos proceder (aula rápida e prática):
- O enunciado pede para verificar o Teorema do Divergente (Gauss). A forma do teorema é:
onde
é a normal unitária exterior à região
.
- O divergente
é a soma das derivadas parciais das componentes: se então
Interpretationzinha:
mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume. Integrando em
obtemos a saída total; o teorema diz que isso é igual ao fluxo pela superfície.
- Para verificar o teorema faremos duas coisas em cada item:
- Calcular
e a integral tripla . - Calcular o fluxo
pela superfície fronteira (quebrar a fronteira em pedaços simples) e somar. Em regiões simétricas frequentemente alguns termos desaparecem por simetria, o que facilita.
- Calcular
Agora aplicamos passo a passo aos três itens.
Passo 3
Calcular o divergente de
.
- Componentes:
. - Portanto
Agora a integral tripla sobre o cubo
:
Integrando em
e
(cada um dá fator 1):
Passo 4
A fronteira
tem 6 faces planas; vamos calcular o fluxo em cada uma com a normal exterior.
- Face
: normal exterior . Em , . Assim . Fluxo:
-
Face
: normal exterior . Em , , então contribuição . -
Face
: normal . Em , . Produto escalar . Fluxo:
-
Face
: normal . Em , e . Contribuição . -
Face
: normal . Em , . Produto escalar . Fluxo:
- Face
: normal . Em , e . Contribuição .
Somando todas as contribuições:
Isto coincide com a integral tripla encontrada no Passo 3, logo o Teorema do Divergente é verificado para o item 1.
Passo 5
Campo
.
Calcular divergente:
Calcular divergente:
Passo 6
A região
é o sólido sob
e acima de
. Em coordenadas cilíndricas
, a projeção no plano
é o disco
. A integral tripla:
Integrando em
:
Separe as partes:
- Parte com
: integrando em sobre a dá zero porque . Logo essa parte não contribui. - Resta a parte do
:
Calcule o radial:
Multiplicando por
, obtemos:
Passo 7
A fronteira
tem duas partes: o disco de base
no plano
(raio
) e a superfície do paraboloide
com
. Precisamos do fluxo total com a normal exterior — para o sólido abaixo do paraboloide e acima de
, a normal do disco de base aponta para baixo (
) e a normal do paraboloide aponta para cima.
-
Fluxo pelo disco de base
(normal exterior ):
Em, . Então . Contribuição do disco é . -
Fluxo pela superfície do paraboloide
, vista como gráfico com normal apontando para cima. Para um gráfico com normal para cima, a fórmula prática é:
onde
é a projeção (o disco
). Aqui
, e
. Substituindo:
Mas sobre
temos
, então o integrando fica
Agora integramos sobre o disco
. Em coordenadas polares, os termos
e
têm fatores com
ou
e, ao integrar
de
a
, esses termos somam zero (são ímpares em
ou simetricamente anulam). Assim só resta integrar
. Portanto
Esse integral já calculamos no Passo 6 (mesma integral que deu
). Portanto o fluxo pela superfície do paraboloide é
. Como o disco de base contribuiu
, o fluxo total através de
é
, que coincide com a integral tripla do divergente encontrada no Passo 6.
Passo 8
Campo
.
Calcule:
Calcule:
Passo 9
Região
:
e
. Usamos coordenadas cilíndricas para a parte em
. A integral tripla:
Separe em três integrais. As duas primeiras (com
e
) ao integrar
de
a
dão zero por simetria. Resta a parte com
:
Calcule:
Multiplicando:
Passo 10
A fronteira
consiste de três partes: base inferior
em
, base superior
em
, e superfície lateral
com
,
. Vamos calcular cada fluxo com a normal exterior.
-
Base inferior
: normal exterior é . Em , . Produto escalar . Contribuição . -
Base superior
: normal exterior é . Em , . Produto escalar . Fluxo pelo disco :
Em coordenadas polares isso é
, que ao integrar
de
a
zera. Logo contribuição
.
- Superfície lateral
: normal exterior é radial . Parâmetros: . A área elementar é (raio ). Avaliando em :
Produto escalar com
:
Integrando
de
a
:
Agora integrar em
de
a
. O termo
tem média zero em
a
. O termo
tem integral
(pois
). Assim o fluxo pela lateral é
. As bases deram zero, logo o fluxo total:
que coincide com a integral tripla do divergente calculada no Passo 9.
Passo 11
Resumo das verificações (conclusões): em cada item calculamos as duas quantidades do Teorema do Divergente (integral tripla do divergente e fluxo pela fronteira) e mostramos que são iguais. Portanto o Teorema do Divergente está verificado para os três campos e respectivas regiões.
Força aí — você já viu o procedimento: (1) calcular divergente, (2) integrar convenientemente na região, (3) calcular fluxo pela fronteira quebrando-a em peças simples e verificar que a soma coincide com a integral tripla. Isso é a receita que cai na prova.