I-4 Verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial \mathbf{F} na região E .
l. \mathbf{F}(x, y, z)=3 x \mathbf{i}+x y \mathbf{j}+2 x z \mathbf{k}, E é o cubo limitado pelos pla \operatorname{nos} x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 e z=1
2. \mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} \mathbf{i}+x y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, E é o sólido delimitado pelo paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} e pelo plano x y
3. \quad \mathbf{F}(x, y, z)=x y \mathbf{i}+y z \mathbf{j}+z x \mathbf{k}, E é o cilindro sólido x^{2}+y^{2} \leqslant 1, 0 \leqslant z \leqslant 1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede para cada item (sem resolver ainda).
  1. Campo e região:
  • \mathbf{F}(x,y,z)=3x\,\mathbf{i}+xy\,\mathbf{j}+2xz\,\mathbf{k}.
  • E é o cubo delimitado por x=0,\,x=1,\,y=0,\,y=1,\,z=0,\,z=1.
Pergunta: verificar que o Teorema do Divergente vale para esse \mathbf{F} e esse E, isto é, mostrar que o integral de superfície do fluxo sobre \partial E é igual ao integral triplo do divergente sobre E.
  1. Campo e região:
  • \mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}\,\mathbf{i}+xy\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}.
  • E é o sólido limitado pelo paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} e pelo plano z=0 (o plano xy).
Pergunta: verificar o Teorema do Divergente para esse \mathbf{F} e esse E.
  1. Campo e região:
  • \mathbf{F}(x,y,z)=xy\,\mathbf{i}+yz\,\mathbf{j}+zx\,\mathbf{k}.
  • E é o cilindro sólido \{(x,y,z): x^{2}+y^{2}\le 1,\\\ 0\le z\le 1\}.
Pergunta: verificar o Teorema do Divergente para esse \mathbf{F} e esse E.

Passo 2

O que é preciso lembrar e como vamos proceder (aula rápida e prática):
  • O enunciado pede para verificar o Teorema do Divergente (Gauss). A forma do teorema é:
\iint_{\partial E}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \;=\; \iiint_{E}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV,
onde \mathbf{n} é a normal unitária exterior à região E.
  • O divergente \nabla\cdot\mathbf{F} é a soma das derivadas parciais das componentes: se \mathbf{F}=(P,Q,R) então
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.
Interpretationzinha: \nabla\cdot\mathbf{F} mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume. Integrando em E obtemos a saída total; o teorema diz que isso é igual ao fluxo pela superfície.
  • Para verificar o teorema faremos duas coisas em cada item:
    1. Calcular \nabla\cdot\mathbf{F} e a integral tripla \iiint_E (\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV.
    2. Calcular o fluxo \iint_{\partial E}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS pela superfície fronteira \partial E (quebrar a fronteira em pedaços simples) e somar. Em regiões simétricas frequentemente alguns termos desaparecem por simetria, o que facilita.
Agora aplicamos passo a passo aos três itens.

Passo 3

Calcular o divergente de \mathbf{F}(x,y,z)=3x\,\mathbf{i}+xy\,\mathbf{j}+2xz\,\mathbf{k}.
  • Componentes: P=3x,\;Q=xy,\;R=2xz.
  • Portanto
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(3x)+\frac{\partial}{\partial y}(xy)+\frac{\partial}{\partial z}(2xz) =3 + x + 2x = 3 + 3x.
Agora a integral tripla sobre o cubo 0\le x,y,z\le 1:
\iiint_{E}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(3+3x)\,dz\,dy\,dx.
Integrando em z e y (cada um dá fator 1):
\int_{0}^{1}(3+3x)\,dx = \Big[3x+\tfrac{3}{2}x^{2}\Big]_{0}^{1} =3+\tfrac{3}{2}=\tfrac{9}{2}.

Passo 4

A fronteira \partial E tem 6 faces planas; vamos calcular o fluxo em cada uma com a normal exterior.
  1. Face x=1: normal exterior \mathbf{n}=(1,0,0). Em x=1, \mathbf{F}=(3,\,y,\,2z). Assim \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=3. Fluxo:
\iint_{x=1} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{1} 3\,dz\,dy = 3.
  1. Face x=0: normal exterior \mathbf{n}=(-1,0,0). Em x=0, \mathbf{F}=(0,0,0), então contribuição 0.
  2. Face y=1: normal \mathbf{n}=(0,1,0). Em y=1, \mathbf{F}=(3x,\,x,\,2xz). Produto escalar \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=x. Fluxo:
\int_{x=0}^{1}\int_{z=0}^{1} x\,dz\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx = \tfrac{1}{2}.
  1. Face y=0: normal \mathbf{n}=(0,-1,0). Em y=0, \mathbf{F}=(3x,0,2xz) e \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=0. Contribuição 0.
  2. Face z=1: normal \mathbf{n}=(0,0,1). Em z=1, \mathbf{F}=(3x,xy,2x). Produto escalar \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=2x. Fluxo:
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1} 2x\,dy\,dx = \int_{0}^{1}2x\,dx = 1.
  1. Face z=0: normal \mathbf{n}=(0,0,-1). Em z=0, \mathbf{F}=(3x,xy,0) e \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=0. Contribuição 0.
Somando todas as contribuições:
\text{fluxo total} = 3 + 0 + \tfrac{1}{2} + 0 + 1 + 0 = \tfrac{9}{2}.
Isto coincide com a integral tripla encontrada no Passo 3, logo o Teorema do Divergente é verificado para o item 1.

Passo 5

Campo \mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}\,\mathbf{i}+xy\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}.
Calcular divergente:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(xy)+\frac{\partial}{\partial z}(z) =2x + x + 1 = 3x + 1.

Passo 6

A região E é o sólido sob z=4-x^{2}-y^{2} e acima de z=0. Em coordenadas cilíndricas x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta, a projeção no plano xy é o disco 0\le r\le 2,\\\ 0\le\theta\le 2\pi. A integral tripla:
\iiint_{E}(3x+1)\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-r^{2}} (3r\cos\theta + 1)\, r\,dz\,dr\,d\theta.
Integrando em z:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} (3r\cos\theta + 1)\, r(4-r^{2})\,dr\,d\theta.
Separe as partes:
  • Parte com 3r\cos\theta: integrando em \theta sobre 0 a 2\pi dá zero porque \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0. Logo essa parte não contribui.
  • Resta a parte do 1:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r(4-r^{2})\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{2} (4r - r^{3})\,dr\right).
Calcule o radial:
\int_{0}^{2} (4r - r^{3})\,dr = \Big[2r^{2}-\tfrac{1}{4}r^{4}\Big]_{0}^{2} = 2\cdot 4 - \tfrac{1}{4}\cdot 16 = 8 - 4 = 4.
Multiplicando por \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi, obtemos:
\iiint_{E}(3x+1)\,dV = 2\pi\cdot 4 = 8\pi.

Passo 7

A fronteira \partial E tem duas partes: o disco de base D no plano z=0 (raio 2) e a superfície do paraboloide S com z=4-x^{2}-y^{2}. Precisamos do fluxo total com a normal exterior — para o sólido abaixo do paraboloide e acima de z=0, a normal do disco de base aponta para baixo ( -\mathbf{k}) e a normal do paraboloide aponta para cima.
  1. Fluxo pelo disco de base z=0 (normal exterior \mathbf{n}=(0,0,-1)):
    Em z=0, \mathbf{F}=(x^{2},xy,0). Então \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=0. Contribuição do disco é 0.
  2. Fluxo pela superfície do paraboloide S, vista como gráfico z=g(x,y)=4-x^{2}-y^{2} com normal apontando para cima. Para um gráfico z=g(x,y) com normal para cima, a fórmula prática é:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{D} \big(-P\,g_x - Q\,g_y + R\big)\,dA,
onde D é a projeção (o disco r\le 2). Aqui P=x^{2},\\ Q=xy,\\ R=z, e g_x=-2x,\\ g_y=-2y. Substituindo:
-P\,g_x - Q\,g_y + R = -x^{2}(-2x) - (xy)(-2y) + z =2x^{3} + 2xy^{2} + z.
Mas sobre S temos z=4-x^{2}-y^{2}, então o integrando fica
2x^{3}+2xy^{2}+4-x^{2}-y^{2}.
Agora integramos sobre o disco x^{2}+y^{2}\le 4. Em coordenadas polares, os termos 2x^{3} e 2xy^{2} têm fatores com \cos^{3}\theta ou \cos\theta\sin^{2}\theta e, ao integrar \theta de 0 a 2\pi, esses termos somam zero (são ímpares em \cos\theta ou simetricamente anulam). Assim só resta integrar 4-x^{2}-y^{2}=4-r^{2}. Portanto
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{r\le 2} (4-r^{2})\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} (4-r^{2})\,r\,dr\,d\theta.
Esse integral já calculamos no Passo 6 (mesma integral que deu 8\pi). Portanto o fluxo pela superfície do paraboloide é 8\pi. Como o disco de base contribuiu 0, o fluxo total através de \partial E é 8\pi, que coincide com a integral tripla do divergente encontrada no Passo 6.

Passo 8

Campo \mathbf{F}=xy\,\mathbf{i}+yz\,\mathbf{j}+zx\,\mathbf{k}.
Calcule:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(xy)+\frac{\partial}{\partial y}(yz)+\frac{\partial}{\partial z}(zx) = y + z + x = x+y+z.

Passo 9

Região E: 0\le z\le 1 e x^{2}+y^{2}\le 1. Usamos coordenadas cilíndricas para a parte em x,y. A integral tripla:
\iiint_{E}(x+y+z)\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} (r\cos\theta + r\sin\theta + z)\, r\,dz\,dr\,d\theta.
Separe em três integrais. As duas primeiras (com \cos\theta e \sin\theta) ao integrar \theta de 0 a 2\pi dão zero por simetria. Resta a parte com z:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} z\,r\,dz\,dr\,d\theta =\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{1} r\,dr\right)\left(\int_{0}^{1} z\,dz\right).
Calcule:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,\qquad \int_{0}^{1} r\,dr=\tfrac{1}{2},\qquad \int_{0}^{1} z\,dz=\tfrac{1}{2}.
Multiplicando:
\iiint_{E}(x+y+z)\,dV = 2\pi\cdot \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{\pi}{2}.

Passo 10

A fronteira \partial E consiste de três partes: base inferior D_0 em z=0, base superior D_1 em z=1, e superfície lateral S_{\text{lat}} com r=1, 0\le z\le 1. Vamos calcular cada fluxo com a normal exterior.
  1. Base inferior z=0: normal exterior é \mathbf{n}=(0,0,-1). Em z=0, \mathbf{F}=(xy,0,0). Produto escalar \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=0. Contribuição 0.
  2. Base superior z=1: normal exterior é \mathbf{n}=(0,0,1). Em z=1, \mathbf{F}=(xy,y,x). Produto escalar \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=x. Fluxo pelo disco r\le 1:
\iint_{D_1} x\,dA.
Em coordenadas polares isso é \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\cos\theta \cdot r\,dr\,d\theta, que ao integrar \theta de 0 a 2\pi zera. Logo contribuição 0.
  1. Superfície lateral r=1: normal exterior é radial \mathbf{n}=(\cos\theta,\sin\theta,0). Parâmetros: \theta\in[0,2\pi],\\ z\in[0,1]. A área elementar é dS = 1\cdot d\theta\,dz (raio =1). Avaliando \mathbf{F} em x=\cos\theta,\\ y=\sin\theta:
\mathbf{F}=(\cos\theta\sin\theta,\\ z\sin\theta,\\ z\cos\theta).
Produto escalar com \mathbf{n}:
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = (\cos\theta\sin\theta)\cos\theta + (z\sin\theta)\sin\theta + (z\cos\theta)\cdot 0 = \cos^{2}\theta\sin\theta + z\sin^{2}\theta.
Integrando z de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(\cos^{2}\theta\sin\theta + z\sin^{2}\theta)\,dz = \cos^{2}\theta\sin\theta + \tfrac{1}{2}\sin^{2}\theta.
Agora integrar em \theta de 0 a 2\pi. O termo \cos^{2}\theta\sin\theta tem média zero em 0 a 2\pi. O termo \tfrac{1}{2}\sin^{2}\theta tem integral \tfrac{1}{2}\cdot \pi (pois \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\pi). Assim o fluxo pela lateral é \tfrac{\pi}{2}. As bases deram zero, logo o fluxo total:
\iint_{\partial E}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \tfrac{\pi}{2},
que coincide com a integral tripla do divergente calculada no Passo 9.

Passo 11

Resumo das verificações (conclusões): em cada item calculamos as duas quantidades do Teorema do Divergente (integral tripla do divergente e fluxo pela fronteira) e mostramos que são iguais. Portanto o Teorema do Divergente está verificado para os três campos e respectivas regiões.
Força aí — você já viu o procedimento: (1) calcular divergente, (2) integrar convenientemente na região, (3) calcular fluxo pela fronteira quebrando-a em peças simples e verificar que a soma coincide com a integral tripla. Isso é a receita que cai na prova.

Resposta

  1. \displaystyle \tfrac{9}{2}
  2. \displaystyle 8\pi
  3. \displaystyle \tfrac{\pi}{2}

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