4 Demonstre que a bissetriz de um ângulo externo no vértice oposto à base de um triângulo isósceles é paralela à base.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num triângulo isósceles ABC com AB = AC (logo ang<= B = ang<= C), a bissetriz do ângulo externo em A é paralela à base BC. Vamos usar:
  • Propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo: ang<= A + ang<= B + ang<= C = 180^circ.
  • Definição de ângulo externo: o suplemento do ângulo interno.
  • Critério de paralelismo: se uma reta transversal forma ângulos alternos internos iguais com duas retas, então essas retas são paralelas.

Passo 2

Seja r a bissetriz do ângulo externo em A. Primeiro, calculemos a medida desse ângulo externo. Como
ang<= A + ang<= B + ang<= C = 180^circ,
temos que o ângulo externo em A vale
180^circ - ang<= A
Como r é bissetriz, cada parte mede
180^circ - ang<= A2

Passo 3

Pelo triângulo ser isósceles com AB = AC, vale
ang<= B = ang<= C
Da soma dos ângulos segue
ang<= B + ang<= C = 180^circ - ang<= A,
então
180^circ - ang<= A2 = ang<= B + ang<= C2 = ang<= B = ang<= C

Passo 4

Agora considere AC como transversal que intercepta a bissetriz r e a reta BC. O ângulo formado entre r e AC é precisamente
180^circ - ang<= A2,
e o ângulo formado entre BC e AC é ang<= C. Mas mostramos que
180^circ - ang<= A2 = ang<= C
Logo esses são ângulos alternos internos iguais.

Passo 5

Pelo critério de paralelismo, se duas retas são cortadas por uma transversal formando ângulos alternos internos congruentes, então as duas retas são paralelas. Portanto a bissetriz r do ângulo externo em A é paralela à base BC.

Resposta

A bissetriz do ângulo externo em A é paralela a BC.

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