Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos x, da região delimitada pelos gráficos das seguintes equações:
Questão 2. e
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo a região limitada por e
Aqui vamos usar o método das cascas cilíndricas (shells), pois escolhemos tiras horizontais (paralelas ao eixo de rotação).
Passo 2
Para uma tira horizontal em altura , a casca gerada tem:
• raio (distância até o eixo x),
• altura =xrm direita-xrm esquerda=(3+sin y)-0=3+sin y,
• espessura dy.
Logo, a fórmula em cascas dá
V ;=;2piintegraly=-5pi2^5pi2l(raior),l(a<urar),dy ;=;2piintegral-5pi2^5pi2|y|l(3+sin yr),dy
Passo 3
Separe o integrando em parte par e ímpar:
|y|(3+sin y)=3|y|+|y|sin y
Como |y| é função par e sin y é ímpar, o produto |y|sin y é ímpar, logo
integral-5pi2^5pi2|y|sin y,dy = 0
Fica então
V = 2piintegral-5pi2^5pi23|y|,dy =6piintegral-5pi2^5pi2|y|,dy