Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos x, da região R delimitada pelos gráficos das seguintes equações:
Questão 2.
x=3+sen(y), x=0, y=-5 pi2 e y=5 pi2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R limitada por
;x=0,;x=3+sin(y),;y=-tfrac5pi2 e y=tfrac5pi2
Aqui vamos usar o método das cascas cilíndricas (shells), pois escolhemos tiras horizontais (paralelas ao eixo de rotação).

Passo 2

Para uma tira horizontal em altura y, a casca gerada tem:
• raio =l|yr| (distância até o eixo x),
• altura =xrm direita-xrm esquerda=(3+sin y)-0=3+sin y,
• espessura dy.
Logo, a fórmula em cascas dá
V ;=;2piintegraly=-5pi2^5pi2l(raior),l(a<urar),dy ;=;2piintegral-5pi2^5pi2|y|l(3+sin yr),dy

Passo 3

Separe o integrando em parte par e ímpar:
|y|(3+sin y)=3|y|+|y|sin y
Como |y| é função par e sin y é ímpar, o produto |y|sin y é ímpar, logo
integral-5pi2^5pi2|y|sin y,dy = 0
Fica então
V = 2piintegral-5pi2^5pi23|y|,dy =6piintegral-5pi2^5pi2|y|,dy

Passo 4

Use que
integral-a^a|y|,dy = 2integral0^ay,dy = 2cdota^22=a^2,
com a=tfrac5pi2. Assim,
V =6pil(tfrac5pi2r)^2 =6picdot25pi^24 =150pi^34 =752,pi^3

Resposta

V = 752,pi^3

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