Demonstre que as bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a seguinte afirmação: “As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.”
Informações dadas, claramente listadas:
  • Existem duas retas que se cruzam num ponto O, formando quatro semirretas saindo de O.
  • Dois ângulos formados por essas retas são ângulos opostos pelo vértice (ou seja, são o par de ângulos verticalmente opostos).
  • Para cada um desses dois ângulos foi traçada a sua bissetriz (uma semirreta a partir de O que divide o ângulo em duas partes iguais).
    O que se pede: provar que essas duas semirretas-bissetriz são semirretas opostas (isto é, têm a mesma origem O, são colineares e apontam em sentidos opostos, formando uma reta completa).

Passo 2

Vou explicar com calma os conceitos que vou usar (sem pressupor que já saiba).
  • Definição de semirreta: uma semirreta é o conjunto de todos os pontos de uma reta que ficam de um lado de um ponto O, inclusive O. Denota-se tipicamente por OA quando a semirreta parte de O e passa pelo ponto A.
  • Definição de ângulos opostos pelo vértice (ângulos verticais): quando duas retas se cruzam em O, formam-se quatro ângulos; pares de ângulos que não têm lados em comum são chamados de ângulos opostos pelo vértice. Um fato clássico (que usaremos) é: ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.
  • Definição de bissetriz de um ângulo: a bissetriz é a semirreta a partir do vértice que divide o ângulo em duas partes congruentes (iguais em medida). Se uma semirreta OM é bissetriz do ângulo \angle AOB, então \angle AOM = \angle MOB.
  • Definição de semirretas opostas: duas semirretas com a mesma origem O são opostas se estão sobre a mesma reta mas apontam em sentidos opostos. Em termos práticos, isso significa que uma é a imagem da outra por uma rotação de 180^\circ em torno de O (ou por uma simetria central com centro em O).

Passo 3

Vou fixar uma notação e uma figura mental (essencial para organizar a prova).
  • Seja O o ponto de interseção das duas retas.
  • Denotemos as quatro semirretas a partir de O por OA, OB, OC, OD dispostas sucessivamente ao redor de O, de modo que OA e OC são semirretas opostas (pertencem à mesma reta) e OB e OD são semirretas opostas (pertencem à outra reta).
  • Então os ângulos \angle AOB e \angle COD são um par de ângulos opostos pelo vértice (vertical), e \angle BOC e \angle DOA são o outro par.
  • Seja OM a bissetriz de \angle AOB (ou seja, OM é uma semirreta a partir de O tal que \angle AOM = \angle MOB).
  • Seja ON a bissetriz de \angle COD (ou seja, ON é uma semirreta a partir de O tal que \angle CON = \angle NOD).
    O objetivo agora, com essa notação, é provar que OM e ON são semirretas opostas.

Passo 4

Recordando um fato geométrico simples que vamos usar explicitamente:
  • ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais. Portanto,
\text{medida}(\angle AOB)=\text{medida}(\angle COD).
Isto é consequência direta da definição das retas e da soma das medidas de um par linear, mas aqui tomamos como fato conhecido (padrão em geometria euclidiana).

Passo 5

Usando as definições de bissetriz, escrevemos as igualdades de medidas:
  • Como OM bisseta \angle AOB,
\text{medida}(\angle AOM)=\text{medida}(\angle MOB)=\tfrac{1}{2}\,\text{medida}(\angle AOB).
  • Como ON bisseta \angle COD,
\text{medida}(\angle CON)=\text{medida}(\angle NOD)=\tfrac{1}{2}\,\text{medida}(\angle COD).

Passo 6

Agora relacionamos as duas anteriores com o fato de que \angle AOB e \angle COD têm medidas iguais. Substituindo,
\text{medida}(\angle AOM)=\tfrac{1}{2}\,\text{medida}(\angle AOB) =\tfrac{1}{2}\,\text{medida}(\angle COD) =\text{medida}(\angle CON).
Portanto
\text{medida}(\angle AOM)=\text{medida}(\angle CON).
Em palavras: o ângulo formado por OA e OM tem a mesma medida que o ângulo formado por OC e ON.

Passo 7

Agora introduzo uma transformação geométrica simples e intuitiva que ajuda a concluir: a simetria central (ou giro de 180^\circ em torno de O).
  • Definição (intuitiva): a simetria central em torno de O leva cada ponto X ao ponto X' tal que O é o ponto médio de XX'. Geometricamente, isso equivale a girar tudo em 180^\circ ao redor de O.
  • Propriedades úteis e fáceis de aceitar:
    1. A simetria central leva uma semirreta OA em sua semirreta oposta OC (pois A é levado para um ponto C na direção oposta a partir de O).
    2. A simetria central preserva medidas de ângulo: a imagem de um ângulo tem a mesma medida do ângulo original.
    3. Aplicando a simetria central a uma bissetriz de um ângulo, obtém-se a bissetriz do ângulo oposto pelo vértice (porque as semirretas que definem o ângulo são levadas em semirretas opostas e a igualdade das metades é preservada).
      Essas propriedades são diretas de perceber: girar 180^\circ não altera medidas e troca direções por seus opostos.

Passo 8

Aplicando concretamente a simetria central com centro em O:
  • A simetria manda OA em OC e OB em OD.
  • Logo, a imagem da bissetriz OM por essa simetria é uma semirreta que parte de O, que bisseta o ângulo formado por OC e OD. Ou seja, a imagem de OM é uma bissetriz de \angle COD.
  • Mas a bissetriz de um ângulo é única (em termos de semirreta no interior daquele ângulo existe exatamente uma semirreta que divide o ângulo em duas partes iguais). Portanto a imagem de OM pela simetria central coincide com ON, a bissetriz de \angle COD.
  • Conclusão desta etapa: a imagem de OM pela rotação de 180^\circ é exatamente ON.

Passo 9

Interpretação geométrica final:
  • A simetria central (ou giro de 180^\circ em torno de O) manda qualquer semirreta em sua semirreta oposta. Já vimos que a imagem de OM é ON. Logo ON é precisamente a semirreta oposta a OM.
  • Portanto OM e ON são colineares (estão sobre a mesma reta) e apontam em sentidos opostos — isto é, são semirretas opostas.

Passo 10

Resumo amigável (como responder numa prova, de forma curta e convincente):
  • Nomear as semirretas e as bissetrizes; notar que ângulos opostos pelo vértice têm mesma medida.
  • Usar que a bissetriz divide a medida ao meio, logo as metades correspondentes são iguais.
  • Aplicar a simetria central (giro de 180^\circ) em O para ver que a bissetriz de um ângulo é levada à bissetriz do ângulo oposto; pela unicidade da bissetriz, as duas são imagens uma da outra por essa simetria e, portanto, são semirretas opostas.
    Esse é o argumento curto e elegante que pode escrever na prova.

Resposta

As bissetrizes dos ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.

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