Demonstre que as bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a seguinte afirmação: “As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.”
Informações dadas, claramente listadas:
Informações dadas, claramente listadas:
- Existem duas retas que se cruzam num ponto
, formando quatro semirretas saindo de . - Dois ângulos formados por essas retas são ângulos opostos pelo vértice (ou seja, são o par de ângulos verticalmente opostos).
- Para cada um desses dois ângulos foi traçada a sua bissetriz (uma semirreta a partir de
que divide o ângulo em duas partes iguais).
O que se pede: provar que essas duas semirretas-bissetriz são semirretas opostas (isto é, têm a mesma origem, são colineares e apontam em sentidos opostos, formando uma reta completa).
Passo 2
Vou explicar com calma os conceitos que vou usar (sem pressupor que já saiba).
- Definição de semirreta: uma semirreta é o conjunto de todos os pontos de uma reta que ficam de um lado de um ponto
, inclusive . Denota-se tipicamente por quando a semirreta parte de e passa pelo ponto . - Definição de ângulos opostos pelo vértice (ângulos verticais): quando duas retas se cruzam em
, formam-se quatro ângulos; pares de ângulos que não têm lados em comum são chamados de ângulos opostos pelo vértice. Um fato clássico (que usaremos) é: ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida. - Definição de bissetriz de um ângulo: a bissetriz é a semirreta a partir do vértice que divide o ângulo em duas partes congruentes (iguais em medida). Se uma semirreta
é bissetriz do ângulo , então . - Definição de semirretas opostas: duas semirretas com a mesma origem
são opostas se estão sobre a mesma reta mas apontam em sentidos opostos. Em termos práticos, isso significa que uma é a imagem da outra por uma rotação de em torno de (ou por uma simetria central com centro em ).
Passo 3
Vou fixar uma notação e uma figura mental (essencial para organizar a prova).
- Seja
o ponto de interseção das duas retas. - Denotemos as quatro semirretas a partir de
por , , , dispostas sucessivamente ao redor de , de modo que e são semirretas opostas (pertencem à mesma reta) e e são semirretas opostas (pertencem à outra reta). - Então os ângulos
e são um par de ângulos opostos pelo vértice (vertical), e e são o outro par. - Seja
a bissetriz de (ou seja, é uma semirreta a partir de tal que ). - Seja
a bissetriz de (ou seja, é uma semirreta a partir de tal que ).
O objetivo agora, com essa notação, é provar quee são semirretas opostas.
Passo 4
Recordando um fato geométrico simples que vamos usar explicitamente:
- ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais. Portanto,
Isto é consequência direta da definição das retas e da soma das medidas de um par linear, mas aqui tomamos como fato conhecido (padrão em geometria euclidiana).
Passo 5
Usando as definições de bissetriz, escrevemos as igualdades de medidas:
- Como
bisseta ,
- Como
bisseta ,
Passo 6
Agora relacionamos as duas anteriores com o fato de que
e
têm medidas iguais. Substituindo,
Portanto
Em palavras: o ângulo formado por
e
tem a mesma medida que o ângulo formado por
e
.
Passo 7
Agora introduzo uma transformação geométrica simples e intuitiva que ajuda a concluir: a simetria central (ou giro de
em torno de
).
- Definição (intuitiva): a simetria central em torno de
leva cada ponto ao ponto tal que é o ponto médio de . Geometricamente, isso equivale a girar tudo em ao redor de . - Propriedades úteis e fáceis de aceitar:
- A simetria central leva uma semirreta
em sua semirreta oposta (pois é levado para um ponto na direção oposta a partir de ). - A simetria central preserva medidas de ângulo: a imagem de um ângulo tem a mesma medida do ângulo original.
- Aplicando a simetria central a uma bissetriz de um ângulo, obtém-se a bissetriz do ângulo oposto pelo vértice (porque as semirretas que definem o ângulo são levadas em semirretas opostas e a igualdade das metades é preservada).
Essas propriedades são diretas de perceber: girarnão altera medidas e troca direções por seus opostos.
- A simetria central leva uma semirreta
Passo 8
Aplicando concretamente a simetria central com centro em
:
- A simetria manda
em e em . - Logo, a imagem da bissetriz
por essa simetria é uma semirreta que parte de , que bisseta o ângulo formado por e . Ou seja, a imagem de é uma bissetriz de . - Mas a bissetriz de um ângulo é única (em termos de semirreta no interior daquele ângulo existe exatamente uma semirreta que divide o ângulo em duas partes iguais). Portanto a imagem de
pela simetria central coincide com , a bissetriz de . - Conclusão desta etapa: a imagem de
pela rotação de é exatamente .
Passo 9
Interpretação geométrica final:
- A simetria central (ou giro de
em torno de ) manda qualquer semirreta em sua semirreta oposta. Já vimos que a imagem de é . Logo é precisamente a semirreta oposta a . - Portanto
e são colineares (estão sobre a mesma reta) e apontam em sentidos opostos — isto é, são semirretas opostas.
Passo 10
Resumo amigável (como responder numa prova, de forma curta e convincente):
- Nomear as semirretas e as bissetrizes; notar que ângulos opostos pelo vértice têm mesma medida.
- Usar que a bissetriz divide a medida ao meio, logo as metades correspondentes são iguais.
- Aplicar a simetria central (giro de
) em para ver que a bissetriz de um ângulo é levada à bissetriz do ângulo oposto; pela unicidade da bissetriz, as duas são imagens uma da outra por essa simetria e, portanto, são semirretas opostas.
Esse é o argumento curto e elegante que pode escrever na prova.
Resposta
As bissetrizes dos ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.