Q4: O conjunto dos \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} tais que x_{1}-2 x_{4}=-3 pode ser representado por:
(A) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ -1 \\\\ -3 \\\\ 3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 2 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -5\end{array}\right]\right\}
(B) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 3 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -3 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -6 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(C) \left[\begin{array}{r}-5 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-7 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(D) \left[\begin{array}{r}-5 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 2 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}7 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -4\end{array}\right]\right\}
(E) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 3 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -4 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(F) \left[\begin{array}{r}-9 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 7 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(G) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ -1 \\\\ -3 \\\\ 3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(H) \left[\begin{array}{r}-9 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 6 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -2 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede: caracterizar o conjunto dos vetores \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4} que satisfazem a equação
x_{1}-2x_{4}=-3.
Fornecem várias representações do tipo “vetor particular + span{3 vetores}” (opções (A) a (H)) e a tarefa é escolher qual delas realmente descreve esse conjunto.
Informações relevantes dadas:
  • A restrição é uma única equação linear em quatro incógnitas: \;x_{1}-2x_{4}=-3.
  • Cada opção dá um vetor base (vetor particular) e três vetores geradores do subespaço de direção (span).
    O que precisamos verificar, para cada opção:
  1. O vetor particular b deve satisfazer \;b_{1}-2b_{4}=-3.
  2. Cada vetor gerador v do span deve pertencer ao núcleo da forma linear x_{1}-2x_{4}, isto é, deve satisfazer \;v_{1}-2v_{4}=0. Isso garante que ao somar esses geradores não se altera a igualdade x_{1}-2x_{4}=-3.
  3. Os três geradores devem gerar um espaço de dimensão 3 (ou, pelo menos, gerar todo o núcleo de dimensão 3). Normalmente vetores com suportes em coordenadas distintas já são independentes; mas se algum gerador não estiver no núcleo ou os vetores forem linearmente dependentes de forma a não gerar dimensão 3, a opção falha.

Passo 2

Vou explicar a ideia geral (fórmula e conceitos) para que você saiba como fazer na prova.
Como é só uma equação linear, podemos escolher três variáveis livres (por exemplo x_{2},x_{3},x_{4}) e escrever x_{1} em função delas:
x_{1} = -3 + 2x_{4}.
Isso significa que a solução geral é
\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + x_{2}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + x_{3}\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + x_{4}\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
onde x_{2},x_{3},x_{4}\in\mathbb{R} são parâmetros livres. Essa é uma representação clássica: um vetor particular mais a combinação linear dos vetores de uma base do núcleo (o núcleo tem dimensão 4-1=3). Para qualquer representação alternativa do tipo b+\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\} ser correta, deve ocorrer:
  • b_{1}-2b_{4}=-3,
  • v_{i,1}-2v_{i,4}=0 para i=1,2,3,
  • e os v_{1},v_{2},v_{3} devem gerar um espaço tridimensional (ou seja, serem independentes ou equivalentes a uma base do núcleo).

Passo 3

Vou derivar uma forma canônica (para usarmos como referência). A forma que já obtivemos é
\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}-3\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}}_{b_{\text{can}}} + \underbrace{\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}}_{e_2}x_{2} + \underbrace{\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}}_{e_3}x_{3} + \underbrace{\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}}_{v_4}x_{4}.
Aqui b_{\text{can}} é um particular e e_2,e_3,v_4 estão no núcleo de x_{1}-2x_{4} porque em cada um v_{1}-2v_{4}=0. Portanto o núcleo (subespaço de direção) pode ser gerado por esses três vetores.

Passo 4

Regra prática para checar cada opção rapidamente na prova:
  • Calcular b_{1}-2b_{4}. Deve dar -3.
  • Para cada gerador v calcular v_{1}-2v_{4}. Deve dar 0.
  • Se ambos os itens anteriores forem verdadeiros para todos os vetores, a opção é válida (assumindo que os geradores realmente geram dimensão 3; na prática, vetores com suportes em coordenadas distintas geralmente são independentes e geram dimensão 3).
Agora aplico essa verificação em cada alternativa.

Passo 5

Verificação da opção (A). Vetor particular e geradores:
b=\begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ -3\\\ 3\end{pmatrix},\quad v_1=\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\; v_2=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; v_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -5\end{pmatrix}.
Calcular b_{1}-2b_{4}:
3 - 2\cdot 3 = 3-6 = -3,
portanto o particular está OK. Agora verificar os geradores:
v_{1,1}-2v_{1,4} = 0 - 2\cdot 0 = 0 \quad(\text{OK}),
v_{2,1}-2v_{2,4} = -1 - 2\cdot 0 = -1 \neq 0 \quad(\text{falha}),
v_{3,1}-2v_{3,4} = 0 - 2\cdot(-5) = 10 \neq 0 \quad(\text{falha}).
Como há geradores que não pertencem ao núcleo, (A) não representa corretamente o conjunto.

Passo 6

Verificação da opção (B). Vetor particular e geradores:
b=\begin{pmatrix}-1\\\ 3\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_1=\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\; v_2=\begin{pmatrix}0\\\ -3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; v_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -6\\\ 0\end{pmatrix}.
Calcular b_{1}-2b_{4}:
-1 - 2\cdot 1 = -1-2 = -3,
particular OK. Verificar geradores:
v_{1,1}-2v_{1,4} = 2 - 2\cdot 1 = 0,
v_{2,1}-2v_{2,4} = 0 - 2\cdot 0 = 0,
v_{3,1}-2v_{3,4} = 0 - 2\cdot 0 = 0.
Todos os geradores estão no núcleo. Além disso, os três vetores são claramente linearmente independentes (cada um tem suporte em coordenadas distintas: o primeiro atua em x_1,x_4, o segundo apenas em x_2, o terceiro apenas em x_3), logo geram um subespaço de dimensão 3, exatamente o núcleo. Portanto (B) é uma representação válida do conjunto.

Passo 7

Verificação rápida das demais opções para eliminar possíveis ambigüidades:
(C) b=\begin{pmatrix}-5\\\ -3\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix},\; v_1=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix},\; v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 4\end{pmatrix},\; v_3=\begin{pmatrix}-7\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Checar b: -5-2(-1)=-5+2=-3 OK.
Geradores:
v_1: 0-2\cdot 0=0 \\ (\text{OK}),
v_2: 0-2\cdot 4 = -8 \neq 0 \\ (\text{falha}),
v_3: -7 - 2\cdot 0 = -7 \neq 0 \\ (\text{falha}).
Logo (C) falha.
(D) b=\begin{pmatrix}-5\\\ -3\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix},\; v_1=\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\; v_2=\begin{pmatrix}7\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; v_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -4\end{pmatrix}.
b verifica -5-2(-1)=-3 OK.
Geradores:
v_1: 0-2\cdot 0=0 \\ (\text{OK}),
v_2: 7-2\cdot 0=7 \neq 0 \\ (\text{falha}),
v_3: 0-2(-4)=8 \neq 0 \\ (\text{falha}).
Portanto (D) falha.
(E) b=\begin{pmatrix}-1\\\ 3\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},\; v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix},\; v_2=\begin{pmatrix}0\\\ -4\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; v_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.
b verifica -1-2(1)=-3 OK.
Geradores:
v_1: 1 - 2\cdot 2 = 1-4 = -3 \neq 0 \\ (\text{falha}),
os outros dão zero, mas já há falha no primeiro. Logo (E) falha.
(F) b=\begin{pmatrix}-9\\\ 2\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix},\; v_1=\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\; v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 7\\\ 0\end{pmatrix},\; v_3=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Verificar b: -9 - 2\cdot 1 = -11 \neq -3. O particular já falha, então (F) é inválida.
(G) b=\begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ -3\\\ 3\end{pmatrix},\; v_1=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix},\; v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 5\end{pmatrix},\; v_3=\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
b verifica 3-2\cdot 3=-3 OK.
Geradores:
v_1: 0-2\cdot 0=0 \\ (\text{OK}),
v_2: 0-2\cdot 5 = -10 \neq 0 \\ (\text{falha}),
v_3: 3 - 2\cdot 0 = 3 \neq 0 \\ (\text{falha}).
Então (G) falha.
(H) b=\begin{pmatrix}-9\\\ 2\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix},\; v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix},\; v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 6\\\ 0\end{pmatrix},\; v_3=\begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
b verifica -9-2(1)=-11\neq-3. Particular falha, então (H) inválida.

Passo 8

Resumo das verificações:
  • (A): particular ok, mas geradores não estão todos no núcleo → inválida.
  • (B): particular ok, todos os geradores satisfazem v_{1}-2v_{4}=0 e são independentes → válida.
  • (C),(D),(E),(G): particular ok em alguns, mas pelo menos um gerador não está no núcleo → inválidas.
  • (F),(H): particular não satisfaz a equação → inválidas.
Portanto a única opção correta é (B).

Resposta

(B)

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