O enunciado pede: caracterizar o conjunto dos vetores \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4} que satisfazem a equação
x_{1}-2x_{4}=-3.
Fornecem várias representações do tipo “vetor particular + span{3 vetores}” (opções (A) a (H)) e a tarefa é escolher qual delas realmente descreve esse conjunto.
Informações relevantes dadas:
A restrição é uma única equação linear em quatro incógnitas: \;x_{1}-2x_{4}=-3.
Cada opção dá um vetor base (vetor particular) e três vetores geradores do subespaço de direção (span).
O que precisamos verificar, para cada opção:
O vetor particular b deve satisfazer \;b_{1}-2b_{4}=-3.
Cada vetor gerador v do span deve pertencer ao núcleo da forma linear x_{1}-2x_{4}, isto é, deve satisfazer \;v_{1}-2v_{4}=0. Isso garante que ao somar esses geradores não se altera a igualdade x_{1}-2x_{4}=-3.
Os três geradores devem gerar um espaço de dimensão 3 (ou, pelo menos, gerar todo o núcleo de dimensão 3). Normalmente vetores com suportes em coordenadas distintas já são independentes; mas se algum gerador não estiver no núcleo ou os vetores forem linearmente dependentes de forma a não gerar dimensão 3, a opção falha.
Passo 2
Vou explicar a ideia geral (fórmula e conceitos) para que você saiba como fazer na prova.
Como é só uma equação linear, podemos escolher três variáveis livres (por exemplo x_{2},x_{3},x_{4}) e escrever x_{1} em função delas:
onde x_{2},x_{3},x_{4}\in\mathbb{R} são parâmetros livres. Essa é uma representação clássica: um vetor particular mais a combinação linear dos vetores de uma base do núcleo (o núcleo tem dimensão 4-1=3). Para qualquer representação alternativa do tipo b+\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\} ser correta, deve ocorrer:
b_{1}-2b_{4}=-3,
v_{i,1}-2v_{i,4}=0 para i=1,2,3,
e os v_{1},v_{2},v_{3} devem gerar um espaço tridimensional (ou seja, serem independentes ou equivalentes a uma base do núcleo).
Passo 3
Vou derivar uma forma canônica (para usarmos como referência). A forma que já obtivemos é
Aqui b_{\text{can}} é um particular e e_2,e_3,v_4 estão no núcleo de x_{1}-2x_{4} porque em cada um v_{1}-2v_{4}=0. Portanto o núcleo (subespaço de direção) pode ser gerado por esses três vetores.
Passo 4
Regra prática para checar cada opção rapidamente na prova:
Calcular b_{1}-2b_{4}. Deve dar -3.
Para cada gerador v calcular v_{1}-2v_{4}. Deve dar 0.
Se ambos os itens anteriores forem verdadeiros para todos os vetores, a opção é válida (assumindo que os geradores realmente geram dimensão 3; na prática, vetores com suportes em coordenadas distintas geralmente são independentes e geram dimensão 3).
Agora aplico essa verificação em cada alternativa.
Passo 5
Verificação da opção (A). Vetor particular e geradores:
Todos os geradores estão no núcleo. Além disso, os três vetores são claramente linearmente independentes (cada um tem suporte em coordenadas distintas: o primeiro atua em x_1,x_4, o segundo apenas em x_2, o terceiro apenas em x_3), logo geram um subespaço de dimensão 3, exatamente o núcleo. Portanto (B) é uma representação válida do conjunto.
Passo 7
Verificação rápida das demais opções para eliminar possíveis ambigüidades: