Usando 4 pontos, todos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas podemos construir? E se não houver nenhum conjunto composto por três pontos colineares?
Passo 1
O enunciado dá: quatro pontos distintos no plano, com duas configurações a considerar:
- Configuração (I): dentre os quatro pontos, existem exatamente
que são colineares (ou seja, três deles estão sobre a mesma reta) e o quarto ponto está em posição diferente. - Configuração (II): não existe nenhum subconjunto de
pontos colineares (ou seja, nenhum trio está sobre a mesma reta).
O que o exercício pergunta:
- Na configuração (I): quantas retas diferentes podem ser construídas a partir desses
pontos? - Na configuração (II): quantas retas diferentes podem ser construídas a partir desses
pontos?
Informações relevantes fornecidas: há
pontos distintos; em (I) três desses são colineares; em (II) não há três colineares.
Passo 2
Princípio básico que vamos usar (explique como usar na prova):
- Dois pontos distintos determinam exatamente uma reta. Isso significa que, se cada par de pontos produzisse uma reta distinta, o número de retas seria igual ao número de pares não ordenados de pontos.
- O número de pares não ordenados de
pontos é dado pelo coeficiente binomial . Aqui representa o número total de pontos e conta quantos pares distintos de pontos existem.
Passo 3
Calcular o número total de pares quando
:
Interpretação: existem
pares de pontos entre os
pontos, então, no máximo,
retas se todos os pares gerassem retas distintas.
Passo 4
Analisar a Configuração (I) — três pontos colineares.
- Denotar os três pontos colineares por
(estão na mesma reta) e o quarto ponto por (não está nessa reta). - Os pares entre
são . Cada um desses pares, por si só, determina a mesma reta (a reta que contém ). Logo, as pares entre os três pontos colineares correspondem a apenas reta distinta. - Os pares que envolvem
são . Porque não está sobre , cada uma dessas três retas é diferente de . Além disso, as retas são entre si distintas (duas retas diferentes que passam por e por dois outros pontos distintos não coincidem). - Portanto o total de retas distintas é a reta única
determinada por mais as três retas que ligam a cada um de . Assim:
Alternativa combinatória (forma curta, útil na prova): entre todos os
pares, os
pares formados pelos três colineares foram contados como se fossem retas distintas, mas na verdade representam apenas
reta. Então corrigir a contagem:
Passo 5
Analisar a Configuração (II) — nenhum trio colinear.
- Se nenhum conjunto de
pontos é colinear, então cada par de pontos determina uma reta diferente (não há pares distintos que gerem a mesma reta). - Assim o número de retas é exatamente o número de pares:
Passo 6
Resumo prático para a prova (dica rápida):
- Contar pares
é o primeiro passo. - Se houver um conjunto de
pontos colineares, as pares entre eles representam apenas reta; corrija a contagem com a fórmula
- No nosso caso
, dá retas; sem colinearidade com (o caso genérico) dá retas.