Usando 4 pontos, todos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas podemos construir? E se não houver nenhum conjunto composto por três pontos colineares?

Passo 1

O enunciado dá: quatro pontos distintos no plano, com duas configurações a considerar:
  • Configuração (I): dentre os quatro pontos, existem exatamente \,3 que são colineares (ou seja, três deles estão sobre a mesma reta) e o quarto ponto está em posição diferente.
  • Configuração (II): não existe nenhum subconjunto de \,3 pontos colineares (ou seja, nenhum trio está sobre a mesma reta).
O que o exercício pergunta:
  1. Na configuração (I): quantas retas diferentes podem ser construídas a partir desses \,4 pontos?
  2. Na configuração (II): quantas retas diferentes podem ser construídas a partir desses \,4 pontos?
Informações relevantes fornecidas: há \,4 pontos distintos; em (I) três desses são colineares; em (II) não há três colineares.

Passo 2

Princípio básico que vamos usar (explique como usar na prova):
  • Dois pontos distintos determinam exatamente uma reta. Isso significa que, se cada par de pontos produzisse uma reta distinta, o número de retas seria igual ao número de pares não ordenados de pontos.
  • O número de pares não ordenados de \,n pontos é dado pelo coeficiente binomial \displaystyle \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}. Aqui \,n representa o número total de pontos e \binom{n}{2} conta quantos pares distintos de pontos existem.

Passo 3

Calcular o número total de pares quando n=4:
\binom{4}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=6.
Interpretação: existem \,6 pares de pontos entre os \,4 pontos, então, no máximo, \,6 retas se todos os pares gerassem retas distintas.

Passo 4

Analisar a Configuração (I) — três pontos colineares.
  • Denotar os três pontos colineares por A,B,C (estão na mesma reta) e o quarto ponto por D (não está nessa reta).
  • Os pares entre A,B,C são (A,B),(A,C),(B,C). Cada um desses pares, por si só, determina a mesma reta \ell (a reta que contém A,B,C). Logo, as \binom{3}{2}=3 pares entre os três pontos colineares correspondem a apenas \,1 reta distinta.
  • Os pares que envolvem D são (D,A),(D,B),(D,C). Porque D não está sobre \ell, cada uma dessas três retas é diferente de \ell. Além disso, as retas DA,DB,DC são entre si distintas (duas retas diferentes que passam por D e por dois outros pontos distintos não coincidem).
  • Portanto o total de retas distintas é a reta única \ell determinada por A,B,C mais as três retas que ligam D a cada um de A,B,C. Assim:
\text{nº de retas} = 1 + 3 = 4.º
Alternativa combinatória (forma curta, útil na prova): entre todos os \binom{4}{2}=6 pares, os \binom{3}{2}=3 pares formados pelos três colineares foram contados como se fossem retas distintas, mas na verdade representam apenas 1 reta. Então corrigir a contagem:
\text{nº de retas}=\binom{4}{2}-\binom{3}{2}+1=6-3+1=4.º

Passo 5

Analisar a Configuração (II) — nenhum trio colinear.
  • Se nenhum conjunto de \,3 pontos é colinear, então cada par de pontos determina uma reta diferente (não há pares distintos que gerem a mesma reta).
  • Assim o número de retas é exatamente o número de pares:
\text{nº de retas}=\binom{4}{2}=6.º

Passo 6

Resumo prático para a prova (dica rápida):
  • Contar pares \binom{n}{2} é o primeiro passo.
  • Se houver um conjunto de k pontos colineares, as \binom{k}{2} pares entre eles representam apenas 1 reta; corrija a contagem com a fórmula
\binom{n}{2}-\binom{k}{2}+1.
  • No nosso caso n=4, k=3 4 retas; sem colinearidade com k=2 (o caso genérico) dá 6 retas.

Resposta

\,4
\,6

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