Demonstre que cada sequência é limitada superiormente (ou inferiormente) e monótona não-decrescente (ou não-crescente) e conclua que é convergente:
an=3-1n^2

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência an definida por
an = 3 - 1n^2
O conteúdo de matéria é o teorema de convergência de sequências monotônicas e limitadas. Vamos mostrar que an é limitada superiormente e não-decrescente, para então concluir que ela converge.

Passo 2

Mostrar que an é limitada superiormente. Como 1n^2>0 para todo n>=1, segue que
an = 3 - 1n^2 < 3
Portanto, 3 é um limitante superior de an.

Passo 3

Mostrar que an é não-decrescente. Calculamos a diferença entre termos consecutivos:
an+1-an = l(3 - 1(n+1)^2r) - l(3 - 1n^2r) = 1n^2 - 1(n+1)^2
Como n^2 < (n+1)^2, temos 1n^2 > 1(n+1)^2, logo an+1-an>0. Assim, an é estritamente crescente (e portanto não-decrescente).

Passo 4

Pelo teorema da convergência de sequências monotônicas, uma sequência não-decrescente e limitada superiormente converge. O limite é o supremo dos seus termos, que aqui é 3.

Resposta

A sequência an é não-decrescente e limitada superiormente por 3, portanto converge e
limntoinftyan = 3

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