Demonstre que cada sequência é limitada superiormente (ou inferiormente) e monótona não-decrescente (ou não-crescente) e conclua que é convergente:
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
definida por
O conteúdo de matéria é o teorema de convergência de sequências monotônicas e limitadas. Vamos mostrar que
é limitada superiormente e não-decrescente, para então concluir que ela converge.
Passo 2
Mostrar que
é limitada superiormente. Como
para todo
, segue que
Portanto,
é um limitante superior de
.
Passo 3
Mostrar que
é não-decrescente. Calculamos a diferença entre termos consecutivos:
Como
, temos
, logo
. Assim,
é estritamente crescente (e portanto não-decrescente).
Passo 4
Pelo teorema da convergência de sequências monotônicas, uma sequência não-decrescente e limitada superiormente converge. O limite é o supremo dos seus termos, que aqui é
.
Resposta
A sequência
é não-decrescente e limitada superiormente por
, portanto converge e