Utilize o Teorema do Confronto para Sequência para mostrar que as seguinte sequência é convergente:
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema do Confronto em sequências e mostrar que
converge. O Teorema do Confronto diz que se tivermos duas sequências
e
tais que
para todo
grande o suficiente e
, então
.
Passo 2
Como
está sempre entre
e
, temos
Além disso
para todo
. Dividindo as desigualdades preservando a ordem (o denominador é positivo), obtemos
e em particular, em valor absoluto,
Passo 3
Agora calculamos o limite da sequência de cotas simples:
Passo 4
Como
l|anr|<=(2n+1)/n^2 e
lim(2n+1)/n^2=0 , o Teorema do Confronto garante que