Utilize o Teorema do Confronto para Sequência para mostrar que as seguinte sequência é convergente:
an=2 n+sin (n)n^2+ln (n)

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema do Confronto em sequências e mostrar que
an=2n+sin(n)n^2+ln(n)
converge. O Teorema do Confronto diz que se tivermos duas sequências bn e cn tais que
bn<= an<= cn
para todo n grande o suficiente e limntoinftybn=limntoinftycn=L, então limntoinftyan=L.

Passo 2

Como sin(n) está sempre entre -1 e 1, temos
-1<= sin(n)<= 1
implies 2n-1<= 2n+sin(n)<= 2n+1
Além disso n^2+ln(n)>= n^2 para todo n>=1. Dividindo as desigualdades preservando a ordem (o denominador é positivo), obtemos
2n-1n^2+ln(n);<=;2n+sin(n)n^2+ln(n);<=;2n+1n^2+ln(n)
e em particular, em valor absoluto,
l|anr| ;=;|2n+sin(n)n^2+ln(n)| ;<=;2n+1n^2

Passo 3

Agora calculamos o limite da sequência de cotas simples:
limntoinfty2n+1n^2 =limntoinftyl(2n+1n^2r) =0+0=0

Passo 4

Como l|anr|<=(2n+1)/n^2 e lim(2n+1)/n^2=0, o Teorema do Confronto garante que
limntoinftyan=0

Resposta

0

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