Questão 4
Ainda não respondida
Vale 2,50 ponto(s).
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A integral
integral duplaS(3 x+4 zx, 3 y-2, e^x y z) cdot d S
em que S é superfície do cilindro x^2+y^2=4 que está entre os planos z=0 e z=4 com orientação para fora do cilindro, é igual a
224 pi+8
224 pi-8
160 pi-8
160 pi+8
160 pi.
outro valor.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
integral duplaS F cdot dvec S
onde
F(x,y,z)=l(3x+tfrac4zx,,3y-2,,e^xyzr)
e S é a superfície lateral do cilindro x^2+y^2=4, 0<= z<=4, orientada para fora. Para resolver, vamos parametrizar essa superfície e calcular diretamente
integral duplaS Fcdotvec n,dS.

Passo 2

Parametrização do cilindro:
x=2costheta, y=2sintheta, z=z,
com thetain[0,2pi] e zin[0,4]. O vetor normal unitário, apontando para fora, é
vec n=(costheta,;sintheta,;0),
e o elemento de área é
dS=(raio),dtheta,dz=2,dtheta,dz

Passo 3

Na superfície temos
F1=3x+4zx=6costheta+2zcostheta, F2=3y-2=6sintheta-2, F3=e^x y z (mas não contribui pois nz=0) ã

Passo 4

O produto escalar Fcdotvec n é
F1costheta+F2sintheta =6cos^2theta+2zcosthetacostheta +6sin^2theta-2sintheta =6+2z-2sintheta
Multiplicando por dS=2,dtheta,dz, o integrando fica
(6+2z-2sintheta),2 =12+4z-4sintheta

Passo 5

Integramos sobre thetain[0,2pi] e zin[0,4]:
integral duplaS Fcdot dvec S =integral0^2pi!!integral0^4(12+4z-4sintheta),dz,dtheta
Primeiro em z:
integral0^4(12+4z-4sintheta),dz =48+32-16sintheta =80-16sintheta
Agora em theta:
integral0^2pi(80-16sintheta),dtheta =80cdot2pi-16l[-costhetar]0^2pi =160pi-16( -1+1) =160pi

Resposta

160pi

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