Demonstre que a capacitância equivalente
de dois capacitores
e
conectados em série é dada por:
.
Explique por que a carga em cada capacitor é a mesma em um arranjo em série.
Explique por que a carga em cada capacitor é a mesma em um arranjo em série.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao ligar em série dois capacitores de capacitâncias
e
, a capacitância equivalente
satisfaz
Para isso vamos usar o conceito básico de capacitor, em que a carga armazenada
está relacionada à diferença de potencial
por
além das regras de associação em série.
Passo 2
Em associação em série não há “ramo alternativo” para a carga se redistribuir, então todo o módulo de carga que sai da bateria fica preso nos capacitores em fila. De modo mais físico:
- Quando a bateria aplica uma tensão nos terminais externos da cadeia, ela deposita carga
na placa externa do primeiro capacitor. - Essa carga induz exatamente
na placa interna adjacente. - Como essa placa interna está conectada à placa interna do segundo capacitor, ela transfere
a essa placa, que por sua vez induz na sua placa externa.
Conclusão: cada capacitor armazena a mesma carga.
Passo 3
A diferença de potencial total entre os terminais da associação é a soma das quedas em cada capacitor:
Pela definição de capacitância em cada um temos
Definimos
de modo que
Passo 4
Substituindo
na definição de
dá
Como
, podemos dividir ambos os lados por
e obter
Resposta
Além disso, a carga em cada capacitor é a mesma em série porque não há caminho alternativo para a carga se redistribuir: o valor
que sai de um terminal da bateria acaba “preso” sequencialmente nas placas dos capacitores.