Demonstre que a capacitância de um capacitor de placas paralelas, sem dielétrico, é dada por:
, onde A é a área das placas, d é a distância entre elas, e
é a permissividade do vácuo. Explique as hipóteses envolvidas.
Passo 1
Resumo do enunciado: devemos demonstrar que a capacitância de um capacitor de placas paralelas, sem dielétrico, vale
onde
é a área de cada placa,
a distância entre elas e
a permissividade do vácuo. O conteúdo usado será eletrostática: Lei de Gauss para obter o campo entre placas, cálculo da diferença de potencial e definição de capacitância
.
Passo 2
Para achar o campo elétrico
entre as placas, consideramos carga superficial uniforme
em cada face interna e aplicamos a Lei de Gauss a um pilar cilíndrico atravessando uma placa. Como a área lateral não contribui e só há fluxo pela face interna,
Passo 3
A diferença de potencial
entre as placas (tomando o módulo) é o trabalho por carga para ir de uma placa até a outra ao longo do campo uniforme:
Passo 4
Como
, substituímos em
e usamos a definição de capacitância:
Passo 5
Hipóteses envolvidas:
– As placas são grandes e planas, com , de modo que o campo na região central seja uniforme e as bordas (fringing fields) sejam desprezíveis.
– O espaço entre as placas é vácuo, sem material dielétrico.
– As cargas estão distribuídas apenas nas faces internas das placas, sem acúmulo em arestas.
– As placas são grandes e planas, com
– O espaço entre as placas é vácuo, sem material dielétrico.
– As cargas estão distribuídas apenas nas faces internas das placas, sem acúmulo em arestas.