Demonstre que a capacitância de um capacitor de placas paralelas, sem dielétrico, é dada por:
C=varepsilon0 A / d, onde A é a área das placas, d é a distância entre elas, e varepsilon0 é a permissividade do vácuo. Explique as hipóteses envolvidas.

Passo 1

Resumo do enunciado: devemos demonstrar que a capacitância de um capacitor de placas paralelas, sem dielétrico, vale
C = varepsilon0,Ad,
onde A é a área de cada placa, d a distância entre elas e varepsilon0 a permissividade do vácuo. O conteúdo usado será eletrostática: Lei de Gauss para obter o campo entre placas, cálculo da diferença de potencial e definição de capacitância C = Q/De<a V.

Passo 2

Para achar o campo elétrico vec E entre as placas, consideramos carga superficial uniforme sigma = Q/A em cada face interna e aplicamos a Lei de Gauss a um pilar cilíndrico atravessando uma placa. Como a área lateral não contribui e só há fluxo pela face interna,
E,A = Qintvarepsilon0 Longrightarrow E = sigmavarepsilon0

Passo 3

A diferença de potencial De<a V entre as placas (tomando o módulo) é o trabalho por carga para ir de uma placa até a outra ao longo do campo uniforme:
De<a V = integral0^d E,dx = E,d = sigma,dvarepsilon0

Passo 4

Como sigma = Q/A, substituímos em De<a V e usamos a definição de capacitância:
De<a V = Q,dvarepsilon0,A Longrightarrow C = QDe<a V = Ql(Q,d/(varepsilon0,A)r) = varepsilon0,Ad

Passo 5

Hipóteses envolvidas:
– As placas são grandes e planas, com Agg d^2, de modo que o campo na região central seja uniforme e as bordas (fringing fields) sejam desprezíveis.
– O espaço entre as placas é vácuo, sem material dielétrico.
– As cargas estão distribuídas apenas nas faces internas das placas, sem acúmulo em arestas.

Resposta

C = varepsilon0,Ad

Exercícios relacionados