Demonstre que a energia U armazenada em um capacitor de placas paralelas pode ser expressa em termos do campo elétrico E e do volume V entre as placas como:
U=0,5 varepsilon0 E^2 V, onde E é o campo elétrico entre as placas. Mostre que a densidade de energia pode ser expressa como u=0,5 varepsilon0 E^2.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que a energia armazenada num capacitor de placas paralelas pode ser escrita em função do campo elétrico e do volume entre as placas como
U=0,5,varepsilon0,E^2,V
e que a densidade de energia é
u=0,5,varepsilon0,E^2
O conteúdo necessário é a expressão da energia de um capacitor, a capacitância de placas paralelas, a relação entre diferença de potencial e campo elétrico, e a definição de volume entre as placas.

Passo 2

Sabemos que a energia de um capacitor carregado até uma diferença de potencial De<a V vale
U=12,C,(De<a V)^2,
pois é o trabalho acumulado para levar cargas infinitesimais de 0 até Q.

Passo 3

Para placas paralelas de área A e separação d, a capacitância é
C=varepsilon0,Ad,
e como o campo elétrico entre placas é uniforme, a diferença de potencial satisfaz
De<a V=E,d

Passo 4

Substituindo C e De<a V em U=tfrac12,C,(De<a V)^2, temos
U =12,varepsilon0,Ad,(E,d)^2 =12,varepsilon0,A,d,E^2

Passo 5

O volume entre as placas é simplesmente
V = A,d,
portanto
U =12,varepsilon0,E^2,V

Passo 6

A densidade de energia u (energia por unidade de volume) é
u = UV =12,varepsilon0,E^2

Resposta

U=0,5,varepsilon0,E^2,V
u=0,5,varepsilon0,E^2

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