Demonstre que, para um caso geral, a equação div B=0 não pode ser obtida a partir de rot E=-partial Bpartial t, obrigando a sua imposição para satisfazer o fenômeno natural implicado por ela.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Ele fala sobre duas equações de Maxwell no vácuo (sem cargas livres, sem correntes):
  1. rot E = −∂B/∂t (Lei de Faraday)
  2. div B = 0 (Ausência de monopólos magnéticos)
O que queremos mostrar é que a segunda não “surge” automaticamente da primeira; a partir de rot E = −∂B/∂t dando aplicação de divergência, a gente só consegue saber que div B é constante no tempo, mas não que ela seja zero. Por isso tem que impor div B = 0 como equação independente.
Para isso, vamos usar conceitos básicos de cálculo vetorial: divergência e rotacional, e a identidade div(rot A) = 0 para qualquer campo vetorial A.

Passo 2

Começamos aplicando o operador divergência na equação de Faraday:
rot,E ;=; -,partial Bpartial t
Tirando a divergência dos dois lados, fica
underbracedivl(rot,Er)(*) ;=; div!l(,-partial Bpartial tr)

Passo 3

Agora usamos duas coisas:
  1. A identidade de cálculo vetorial: divl(rot,Ar) = 0 forall;A Então o lado esquerdo (*) vira zero.
  2. No lado direito, divergência e derivada parcial no tempo podem trocar de ordem (supondo campos suaves), logo
    [
    \mathrm{div}!\Bigl(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\Bigr)

    -\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\mathrm{div},\mathbf{B}\bigr).
    ]
Então nossa equação fica
div!l(-partial Bpartial tr) = -partialpartial tl(div,Br)

Passo 4

O que isso significa? A derivada temporal de (div B) é zero, ou seja, div B não muda com o tempo – ela é uma constante em cada ponto do espaço. Isso não nos diz se essa constante é zero ou não, apenas que é fixa (depende do “valor inicial”). Se no instante inicial div B ≠ 0, ela continuará não sendo zero. Então, a lei de Faraday por si só não obriga div B a ser zero, mas só a manter seu valor inicial.

Passo 5

Para satisfazer o fenômeno natural de que não existem monopólos magnéticos (isto é, “não nascem nem morrem fluxos de B”), a gente precisa forçar que essa constante seja zero em todo ponto do espaço. É por isso que a equação
div,B = 0
é imposta à parte, como uma lei de Maxwell independente.

Resposta

Não dá para obter div B = 0 apenas de rot E = −∂B/∂t; a divergência desse rotacional só mostra que ∂/∂t(div B)=0, ou seja, div B é constante no tempo. Para garantir que ela seja realmente zero (ausência de monopólos magnéticos) temos que impor div B = 0 separadamente.

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