Demonstre que:
a cdot(a+c)=a cdot b+a cdot c

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente demonstrar a propriedade distributiva do produto escalar:
acdot(b+c) ;=;acdotb ;+;acdotc
Isso faz parte da álgebra vetorial, mais especificamente das propriedades do produto escalar.
Pra resolver, a gente vai usar a definição de produto escalar em coordenadas: se
, e ,
então
.

Passo 2

Primeiro, monta o vetor b+c ;=;(b1+c1,;b2+c2,;b3+c3) em coordenadas:
acdot(b+c) =;a1,(b1+c1);+;a2,(b2+c2);+;a3,(b3+c3)
Aí, conforme a definição,

Passo 3

Agora é só distribuir cada soma dentro dos parênteses, usando a propriedade distributiva da multiplicação em reais:
a1(b1+c1) = a1b1 + a1c1,
e o mesmo pros outros termos. Então
acdot(b+c) = l(a1b1 + a1c1r) + l(a2b2 + a2c2r) + l(a3b3 + a3c3r)

Passo 4

Agora basta reagrupar os termos que contêm só acdot(b+c) = (a1b1 + a2b2 + a3b3) + (a1c1 + a2c2 + a3c3) e os que contêm só :
Mas cada parêntese aí é justamente o produto escalar de com e com , respectivamente.

Resposta

boxed acdot(b+c) =acdotb +acdotc
E assim mostramos a distributividade do produto escalar!

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