- Dois vetores são dados por
e
. Determine:
a)
b)
c)
d)
e) o ângulo entre
e
a)
b)
c)
d)
e) o ângulo entre
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores no plano:
e
. A matéria envolvida aqui é álgebra de vetores, que inclui operações como multiplicação por escalar, produto escalar, produto vetorial e cálculo de ângulos entre vetores. Para resolver cada parte do exercício, vamos precisar aplicar essas operações passo a passo.
Passo 2
a) Calcular
Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um vetor por um escalar. Quando multiplicamos um vetor por um número, cada uma das suas componentes é multiplicada por esse número. No caso, temos:
Passo 3
b) Calcular o produto escalar
O produto escalar entre dois vetores é uma operação que resulta em um número e é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando os resultados. A fórmula é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 4
c) Calcular
Primeiro, vamos encontrar o vetor
. Multiplicamos o vetor
por 2 e depois somamos o vetor
:
Então:
Agora, calculamos o produto escalar com
:
Passo 5
d) Calcular o produto vetorial
No plano bidimensional, o produto vetorial entre dois vetores resulta em um número escalar que representa a área do paralelogramo formado pelos vetores. A fórmula é:
Aplicando aos nossos vetores:
Passo 6
e) Calcular o ângulo entre
e
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a relação do produto escalar:
Onde:
-
e são as magnitudes (ou módulos) dos vetores. -
é o ângulo entre eles.
Primeiro, vamos calcular as magnitudes:
Já sabemos que
, então substituímos na fórmula:
Resolvendo para
:
Agora, para encontrar o ângulo
, usamos o arco cosseno:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e) O ângulo entre
e
é aproximadamente