1. Dois vetores são dados por a=3 imath+5 jmath e b=2 imath+4 jmath. Determine:
    a) -2 b
    b) a cdot b
    c) (2 a+b) cdot b
    d) (a times b)
    e) o ângulo entre a e b

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores no plano: a=3 imath + 5 jmath e b=2 imath + 4 jmath. A matéria envolvida aqui é álgebra de vetores, que inclui operações como multiplicação por escalar, produto escalar, produto vetorial e cálculo de ângulos entre vetores. Para resolver cada parte do exercício, vamos precisar aplicar essas operações passo a passo.

Passo 2

a) Calcular -2 b
Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um vetor por um escalar. Quando multiplicamos um vetor por um número, cada uma das suas componentes é multiplicada por esse número. No caso, temos:
-2 b = -2 (2 imath + 4 jmath) = (-2 times 2) imath + (-2 times 4) jmath = -4 imath - 8 jmath

Passo 3

b) Calcular o produto escalar a cdot b
O produto escalar entre dois vetores é uma operação que resulta em um número e é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando os resultados. A fórmula é:
a cdot b = ax bx + ay by
Aplicando isso aos nossos vetores:
a cdot b = (3)(2) + (5)(4) = 6 + 20 = 26

Passo 4

c) Calcular (2 a + b) cdot b
Primeiro, vamos encontrar o vetor 2 a + b. Multiplicamos o vetor a por 2 e depois somamos o vetor b:
2 a = 2 (3 imath + 5 jmath) = 6 imath + 10 jmath
Então:
2 a + b = (6 imath + 10 jmath) + (2 imath + 4 jmath) = (6+2) imath + (10+4) jmath = 8 imath + 14 jmath
Agora, calculamos o produto escalar com b:
(2 a + b) cdot b = (8)(2) + (14)(4) = 16 + 56 = 72

Passo 5

d) Calcular o produto vetorial a times b
No plano bidimensional, o produto vetorial entre dois vetores resulta em um número escalar que representa a área do paralelogramo formado pelos vetores. A fórmula é:
a times b = ax by - ay bx
Aplicando aos nossos vetores:
a times b = (3)(4) - (5)(2) = 12 - 10 = 2

Passo 6

e) Calcular o ângulo entre a e b
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a relação do produto escalar:
a cdot b = |a| |b| cos(theta)
Onde:
  • |a| e |b| são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre eles.
Primeiro, vamos calcular as magnitudes:
|a| = raiz3^2 + 5^2 = raiz9 + 25 = raiz34
|b| = raiz2^2 + 4^2 = raiz4 + 16 = raiz20 = 2raiz5
Já sabemos que a cdot b = 26, então substituímos na fórmula:
26 = raiz34 times 2raiz5 times cos(theta)
Resolvendo para cos(theta):
cos(theta) = 262raiz34 times raiz5 = 262 times raiz170 = 13raiz170
Agora, para encontrar o ângulo theta, usamos o arco cosseno:
theta = cos^-1(13raiz170) approx cos^-1(0,999) approx 2,56^circ

Resposta

a) -2 b = -4 imath - 8 jmath
b) a cdot b = 26
c) (2 a + b) cdot b = 72
d) a times b = 2
e) O ângulo entre a e b é aproximadamente 2,56^circ

Exercícios relacionados