Demonstre que:
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos provar que, para dois vetores
e
, vale
Conteúdo: produto escalar de vetores.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Definição geométrica do produto escalar:
. - Definição analítica (componentes) e a propriedade comutativa da multiplicação de números reais.
Passo 2
Aplicando a definição geométrica:
Por definição, o produto escalar é
Por definição, o produto escalar é
onde
é o ângulo entre
e
.
Se invertermos a ordem, temos
Se invertermos a ordem, temos
Como a norma de
e
é só um número real e
também, e pela comutatividade da multiplicação real (
), segue que
logo
Passo 3
Usando a forma em componentes (para vetores em
), escrevemos
O produto escalar é
Como a multiplicação de números reais é comutativa (
), cada termo pode ser trocado:
Resposta
Portanto, tanto pela definição geométrica quanto pela analítica, mostramos que