Demonstre que:
a cdot b=b cdot a

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos provar que, para dois vetores vec acdotvec b ;=;vec bcdotvec a e , vale
Conteúdo: produto escalar de vetores.
O que vamos usar:
  1. Definição geométrica do produto escalar: .
  2. Definição analítica (componentes) e a propriedade comutativa da multiplicação de números reais.

Passo 2

Aplicando a definição geométrica:
Por definição, o produto escalar é
vec acdotvec b = |vec a|;|vec b|costheta,
onde vec bcdotvec a = |vec b|;|vec a|costheta é o ângulo entre |vec a|;|vec b|costheta ;=;|vec b|;|vec a|costheta, e vec acdotvec b = vec bcdotvec a .
Se invertermos a ordem, temos
Como a norma de e é só um número real e também, e pela comutatividade da multiplicação real ( ), segue que
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Passo 3

Usando a forma em componentes (para vetores em vec a = (a1,a2,dots,an), vec b = (b1,b2,dots,bn) ), escrevemos
vec acdotvec b = a1b1 + a2b2 + cdots + anbn
O produto escalar é
a1b1 + cdots + anbn = b1a1 + cdots + bnan = vec bcdotvec a
Como a multiplicação de números reais é comutativa ( ), cada termo pode ser trocado:

Resposta

Portanto, tanto pela definição geométrica quanto pela analítica, mostramos que
boxedvec acdotvec b = vec bcdotvec a

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