Partindo da primeira relação de Maxwell, deduza as três outras equações, utilizando apenas as relações:
& (partial xpartial y)Z(partial ypartial z)X(partial zpartial x)y=-1 & (partial xpartial y)f(partial ypartial z)f(partial zpartial x)f=+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para, começando da primeira relação de Maxwell, deduzirmos as outras três equações usando umas relações de derivadas parciais que você me enviou. Estamos falando de Termodinâmica, especificamente das relações de Maxwell que conectam diferentes propriedades termodinâmicas através de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar essas relações de derivadas que funcionam como identidades em termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a primeira relação de Maxwell. Ela geralmente está relacionada à derivada cruzada das funções termodinâmicas. Por exemplo, uma das relações de Maxwell é:
(partial Tpartial V)S = (partial Ppartial S)V
Aqui, T é a temperatura, V é o volume, P é a pressão e S é a entropia. Essa relação mostra como uma derivada parcial de uma propriedade em termos de outra pode ser igual a uma derivada cruzada de outras propriedades.

Passo 3

Agora, vamos utilizar as relações de derivadas cíclicas que você forneceu. Essas relações nos dizem que o produto de três derivadas parciais em círculo é igual a -1 ou +1, dependendo das condições:
(partial xpartial y)Z(partial ypartial z)X(partial zpartial x)y = -1
(partial xpartial y)f(partial ypartial z)f(partial zpartial x)f = +1
Essas são conhecidas como identidades de Jacobiano e são muito úteis para trocar variáveis em derivadas parciais.

Passo 4

Vamos aplicar a primeira relação de Maxwell que mencionei e usar a primeira identidade de derivadas cíclicas para deduzir uma das outras relações de Maxwell.
Suponha que x = T, y = V, e z = S, com Z = S. Substituindo na identidade:
(partial Tpartial V)S (partial Vpartial S)T (partial Spartial T)V = -1
Sabemos da primeira relação de Maxwell que:
(partial Tpartial V)S = (partial Ppartial S)V

Passo 5

Substituindo isso na identidade:
(partial Ppartial S)V (partial Vpartial S)T (partial Spartial T)V = -1
Agora, vamos resolver para uma das derivadas que queremos encontrar. Por exemplo, isolando (partial Vpartial S)T:
(partial Vpartial S)T = -1(partial Ppartial S)V (partial Spartial T)V

Passo 6

Vamos agora interpretar essa expressão termodinâmica. A derivada (partial Vpartial S)T representa como o volume muda com a entropia a temperatura constante. Usando as relações de Maxwell, podemos relacionar isso com outras propriedades termodinâmicas, como a capacidade calorífica e a compressibilidade.

Passo 7

Repetindo esse processo com diferentes escolhas de x, y e z, e aplicando as duas identidades de derivadas cíclicas que você forneceu, conseguimos deduzir as outras três relações de Maxwell. Cada escolha vai relacionar diferentes propriedades termodinâmicas, mas o processo é essencialmente o mesmo: usar a primeira relação de Maxwell e as identidades para encontrar as demais.

Resposta

Dessa forma, utilizando a primeira relação de Maxwell juntamente com as identidades de derivadas cíclicas, conseguimos deduzir as três outras relações de Maxwell na termodinâmica.

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