Para cada uma das relações fundamentais abaixo, determine as equações de estado e ache a relação fundamental na representação da energia interna
.
a.
b.
c.
14. Determine as três equações de estado (
) de um sistema que obedece a equacao:
a.
b.
c.
14. Determine as três equações de estado (
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar as três equações de estado — que são a temperatura $ T $, a pressão $ P $ e o potencial químico $ \mu $ — para um sistema que segue a equação:
Aqui, $ u $ é a energia interna específica, $ v $ é o volume específico, $ s $ é a entropia específica, $ a $ e $ R $ são constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente como relacionar derivadas parciais da energia interna com as grandezas de estado $ T $, $ P $ e $ \mu $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na termodinâmica, a temperatura $ T $ é dada pela derivada parcial da energia interna em relação à entropia, mantendo o volume e a quantidade de matéria constantes:
Como estamos trabalhando com energia interna específica $ u $ e entropia específica $ s $, nossa relação se adapta para:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa derivada. A função dada é:
Para derivar $ u $ em relação a $ s $, mantendo $ v $ constante, usamos a regra do produto:
Fatorando $ a v^{-1} e^{s/R} $ temos:
Passo 4
Agora, vamos para a pressão $ P $. A pressão é dada por:
No nosso caso, com energia interna específica:
Derivando $ u = a v^{-1} s^{2} e^{s / R} $ em relação a $ v $:
Portanto:
Passo 5
Por fim, o potencial químico $ \mu $. Na termodinâmica, o potencial químico pode ser um pouco mais complexo, mas uma maneira de relacioná-lo é usando a seguinte expressão:
Já temos $ u $, $ T $, $ s $, $ P $ e $ v $ nas nossas expressões, então podemos substituir:
Simplificando isso, você chegará na expressão final para $ \mu $.
Resposta
Então, resumindo, as três equações de estado para o sistema são:
Essas equações relacionam a temperatura, a pressão e o potencial químico com o volume específico e a entropia específica do sistema.