Para cada uma das relações fundamentais abaixo, determine as equações de estado e ache a relação fundamental na representação da energia interna U.
a. S=F(U V N)^1 / 3
b. S=N c cdot ln (UN)+N R cdot ln (VN)+N a
c. S=B(U^3 V)^1 / 4
14. Determine as três equações de estado ( T, P, mu ) de um sistema que obedece a equacao:
u=a v^-1 s^2 e^s / R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar as três equações de estado — que são a temperatura $ T $, a pressão $ P $ e o potencial químico $ \mu $ — para um sistema que segue a equação:
T
Aqui, $ u $ é a energia interna específica, $ v $ é o volume específico, $ s $ é a entropia específica, $ a $ e $ R $ são constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente como relacionar derivadas parciais da energia interna com as grandezas de estado $ T $, $ P $ e $ \mu $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na termodinâmica, a temperatura $ T $ é dada pela derivada parcial da energia interna em relação à entropia, mantendo o volume e a quantidade de matéria constantes:
T
Como estamos trabalhando com energia interna específica $ u $ e entropia específica $ s $, nossa relação se adapta para:
T = ( partial Upartial S )V, N

Passo 3

Agora, vamos calcular essa derivada. A função dada é:
u = a v^-1 s^2 e^s / R
Para derivar $ u $ em relação a $ s $, mantendo $ v $ constante, usamos a regra do produto:
u
Fatorando $ a v^{-1} e^{s/R} $ temos:
s

Passo 4

Agora, vamos para a pressão $ P $. A pressão é dada por:
P
No nosso caso, com energia interna específica:
P = -( partial Upartial V )S, N
Derivando $ u = a v^{-1} s^{2} e^{s / R} $ em relação a $ v $:
P = -( partial upartial v )s
Portanto:
u = a v^-1 s^2 e^s / R

Passo 5

Por fim, o potencial químico $ \mu $. Na termodinâmica, o potencial químico pode ser um pouco mais complexo, mas uma maneira de relacioná-lo é usando a seguinte expressão:
mu
Já temos $ u $, $ T $, $ s $, $ P $ e $ v $ nas nossas expressões, então podemos substituir:
mu = u - Ts + Pv
Simplificando isso, você chegará na expressão final para $ \mu $.

Resposta

Então, resumindo, as três equações de estado para o sistema são:
T = a v^-1 e^s/R ( 2s + s^2R )
P = a v^-2 s^2 e^s/R
mu = a v^-1 s^2 e^s/R - a v^-1 e^s/R ( 2s + s^2R ) s + a v^-2 s^2 e^s/R cdot v
Essas equações relacionam a temperatura, a pressão e o potencial químico com o volume específico e a entropia específica do sistema.

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