Demonstre o Critério para uma Diferencial Exata a seguir:
Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular R do plano definida por a. Então, uma condição necessária e suficiente para que
M(x, y) d x+N(x, y) d y
seja uma diferencial exata é :
partial Mpartial y=partial Npartial x

Passo 1

Vamos recapitular: temos M(x,y) e N(x,y) contínuas com derivadas parciais contínuas em um retângulo R = (x,y)mid a. Queremos mostrar que a forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy é exata se, e somente se, partial Mpartial y = partial Npartial x.

Passo 2

Para ver a necessidade dessa condição, assumimos que existe uma função potencial phi(x,y) tal que dphi = M,dx + N,dy. Isso implica partial phipartial x = M e partial phipartial y = N.

Passo 3

Como phi tem derivadas parciais contínuas, podemos trocar a ordem das diferenciações e obter
partial Mpartial y = partialpartial yl(partial phipartial xr) = partial^2 phipartial y,partial x = partial^2 phipartial x,partial y = partialpartial xl(partial phipartial yr) = partial Npartial x
Isso mostra que a igualdade das derivadas mistas é necessária.

Passo 4

Agora, para a suficiência, partimos de partial Mpartial y = partial Npartial x em R. Definimos uma candidata a potencial por
phi(x,y) = integralx0^x M(s,y),ds + g(y),
onde x0 é um ponto fixo em R e g(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Calculamos
partial phipartial x = M(x,y)
e
partial phipartial y = integralx0^x partial Mpartial y(s,y),ds + g'(y)
Usando partial Mpartial y=partial Npartial x, a integral vira N(x,y)-N(x0,y). Então basta escolher
g'(y) = N(x0,y)
para garantir partial phipartial y=N(x,y).

Passo 6

Logo, encontramos phi tal que dphi = M,dx + N,dy, o que prova a suficiência e conclui a demonstração.

Resposta

Portanto, a condição necessária e suficiente para que M(x,y),dx + N(x,y),dy seja diferencial exata é:
partial Mpartial y = partial Npartial x

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