Demonstre o Critério para uma Diferencial Exata a seguir:
Sejam
e
funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular
do plano definida por
. Então, uma condição necessária e suficiente para que
seja uma diferencial exata é :
Sejam
Passo 1
Vamos recapitular: temos
e
contínuas com derivadas parciais contínuas em um retângulo
. Queremos mostrar que a forma diferencial
é exata se, e somente se,
.
Passo 2
Para ver a necessidade dessa condição, assumimos que existe uma função potencial
tal que
. Isso implica
e
.
Passo 3
Como
tem derivadas parciais contínuas, podemos trocar a ordem das diferenciações e obter
Isso mostra que a igualdade das derivadas mistas é necessária.
Passo 4
Agora, para a suficiência, partimos de
em
. Definimos uma candidata a potencial por
onde
é um ponto fixo em
e
é uma função a determinar.
Passo 5
Calculamos
e
Usando
, a integral vira
. Então basta escolher
para garantir
.
Passo 6
Logo, encontramos
tal que
, o que prova a suficiência e conclui a demonstração.
Resposta
Portanto, a condição necessária e suficiente para que
seja diferencial exata é: