Suponha que M(x, y) d x+N(x, y) d x=0 seja uma equação homogênea. Mostre que a substituição x=nu y transforma a equação em uma com variáveis separáveis.

Passo 1

A equação dada é do tipo M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 e supomos que M e N são funções homogêneas de mesmo grau. O conteúdo envolve definição de funções homogêneas e a técnica de substituição x = v y para reduzir a equação a variáveis separáveis.

Passo 2

Função homogênea significa que, para algum n, vale:
M(t x, t y)=t^n M(x,y),
N(t x, t y)=t^n N(x,y)
Isso é importante porque, ao escrever x=vy, todos os termos em M(vy,y) ou N(vy,y) ganham um fator y^n.

Passo 3

Fazendo a substituição x=v y, temos também
dx = v,dy + y,dv
Essa expressão permite reescrever dx em função de dy e dv, fundamentais para separar as variáveis.

Passo 4

Usamos a homogeneidade para reescrever
M(vy,y)=y^n M(v,1),
N(vy,y)=y^n N(v,1)
Substituindo tudo na equação original, obtemos
y^n M(v,1)(v,dy + y,dv) + y^n N(v,1),dy = 0

Passo 5

Fatorando y^n e organizando termos em dy e dv surge:
y^nl[(M(v,1)v + N(v,1)),dy + y M(v,1),dvr]=0
Como y^nneq0, podemos cancelar esse fator.

Passo 6

Dividindo por y^n e rearranjando, ficamos com
(M(v,1)v + N(v,1)),dy = -y M(v,1),dv
Agora é só separar as variáveis y e v:
dyy = -M(v,1)M(v,1)v + N(v,1),dv
Aqui o lado esquerdo depende só de y e o direito só de v, caracterizando variáveis separáveis.

Passo 7

Concluímos que a substituição x=vy transforma a equação homogênea em
dyy = -M(v,1)M(v,1)v + N(v,1),dv,
uma equação de variáveis separáveis, pronta para integrar cada lado de forma independente.

Resposta

Após a substituição x = v y, a equação homogênea fica na forma
dyy = -M(v,1)M(v,1)v + N(v,1),dv,
o que mostra claramente que se trata de uma equação com variáveis separáveis.

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