Suponha que
seja uma equação homogênea. Mostre que a substituição
transforma a equação em uma com variáveis separáveis.
Passo 1
A equação dada é do tipo
e supomos que
e
são funções homogêneas de mesmo grau. O conteúdo envolve definição de funções homogêneas e a técnica de substituição
para reduzir a equação a variáveis separáveis.
Passo 2
Função homogênea significa que, para algum
, vale:
Isso é importante porque, ao escrever
, todos os termos em
ou
ganham um fator
.
Passo 3
Fazendo a substituição
, temos também
Essa expressão permite reescrever
em função de
e
, fundamentais para separar as variáveis.
Passo 4
Usamos a homogeneidade para reescrever
Substituindo tudo na equação original, obtemos
Passo 5
Fatorando
e organizando termos em
e
surge:
Como
, podemos cancelar esse fator.
Passo 6
Dividindo por
e rearranjando, ficamos com
Agora é só separar as variáveis
e
:
Aqui o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, caracterizando variáveis separáveis.
Passo 7
Concluímos que a substituição
transforma a equação homogênea em
uma equação de variáveis separáveis, pronta para integrar cada lado de forma independente.
Resposta
Após a substituição
, a equação homogênea fica na forma
o que mostra claramente que se trata de uma equação com variáveis separáveis.