Encontre o valor de
para que a equação diferencial dada seja exata
(a)
;
(b)
;
©
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Temos quatro equações diferenciais na forma
e queremos encontrar o valor de
para que cada uma seja exata. O conceito-chave é que uma forma
é exata se e somente se valem as derivadas cruzadas iguais:
Passo 2
Para o item (a) identifiquemos
e
Calculamos as derivadas parciais:
e
Igualando-as:
implica e, para
, obtemos
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando-as:
implica
Passo 3
No item (b) temos
e
Derivando:
Igualando e cancelando termos comuns:
leva a e, para
,
Derivando:
Igualando e cancelando termos comuns:
leva a
Passo 4
No item ©
Calculamos
Para exatidão
implica e, como
, conclui-se
Calculamos
Para exatidão
implica
Passo 5
No item (d) definimos
Derivadas parciais:
Igualando
leva a e, para
, obtemos
Derivadas parciais:
Igualando
leva a
Resposta
a)
; b)
; c)
; d)
.