Encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata
(a) (y^3+k x y^4-2 x) d x+(3 x y^2+20 x^2 y^3) d y=0;
(b) (2 x-y sin x y+k y^4) d x-(20 x y^3+x sin x y) d y;
© (2 x y^2+y e^x) d x+(2 x^2 y+k e^x-1) d y=0
(d) (6 x y^3+cos y) d x+(k x^2 y^2-x sin y) d y=0.

Passo 1

Temos quatro equações diferenciais na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 e queremos encontrar o valor de k para que cada uma seja exata. O conceito-chave é que uma forma M,dx + N,dy é exata se e somente se valem as derivadas cruzadas iguais:
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 2

Para o item (a) identifiquemos
Ma = y^3 + kxy^4 - 2x e Na = 3xy^2 + 20x^2y^3
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mapartial y = 3y^2 + 4kxy^3 e
partial Napartial x = 3y^2 + 40xy^3
Igualando-as:
3y^2 + 4kxy^3 = 3y^2 + 40xy^3
implica 4kxy^3 = 40xy^3 e, para xy^3neq0, obtemos k=10

Passo 3

No item (b) temos
Mb = 2x - ysin(xy) + ky^4 e Nb = -l(20xy^3 + xsin(xy)r)
Derivando:
partial Mbpartial y = -sin(xy) -xycos(xy) +4ky^3,
partial Nbpartial x = -20y^3 -sin(xy) -xycos(xy)
Igualando e cancelando termos comuns:
-sin(xy)-xycos(xy)+4ky^3 = -20y^3 -sin(xy)-xycos(xy)
leva a 4ky^3 = -20y^3 e, para yneq0, k=-5

Passo 4

No item ©
Mc = 2xy^2 + ye^x,
Nc = 2x^2y + ke^x -1
Calculamos
partial Mcpartial y = 4xy + e^x,
partial Ncpartial x = 4xy + ke^x
Para exatidão
4xy + e^x = 4xy + ke^x
implica e^x = ke^x e, como e^xneq0, conclui-se k=1

Passo 5

No item (d) definimos
Md = 6xy^3 + cos y,
Nd = kx^2y^2 - xsin y
Derivadas parciais:
partial Mdpartial y = 18xy^2 - sin y,
partial Ndpartial x = 2kxy^2 - sin y
Igualando
18xy^2 - sin y = 2kxy^2 - sin y
leva a 18xy^2 = 2kxy^2 e, para xy^2neq0, obtemos k=9

Resposta

a) k=10; b) k=-5; c) k=1; d) k=9.

Exercícios relacionados