Resolva as equações diferenciais usando uma substituição apropriada.
(g) ;
Passo 1
A equação diferencial é . Como os termos e são homogêneos de grau 2 (ou seja, substituindo por cada termo ganha um fator ), podemos usar a substituição para reduzir a equação a uma forma separável.
Passo 2
Reescrevendo a equação original como , basta fazer a substituição. Primeiro, implica . Além disso, .
Passo 3
Substituindo na equação reescrita e dividindo por , obtemos
Passo 4
Essa expressão é separável. Podemos reescrever como
Passo 5
Para integrar usamos frações parciais:
Passo 6
Integrando ambos os lados,
Passo 7
Multiplicando por 2 e exponenciando, obtemos
lnl|vv+2r| = -2ln|x| + C' Longrightarrow vv+2 = Cx^2
Passo 8
Voltando a y com v = tfracyx,
y/x(y/x)+2 = Cx^2 Longrightarrow x^2 yy + 2x = C,
Passo 9
que é a solução geral implícita da equação diferencial.