Resolva as equações diferenciais usando uma substituição apropriada.
(g) (y^2+x y) d x+x^2 d y=0;

Passo 1

A equação diferencial é (y^2 + x y),dx + x^2,dy = 0. Como os termos y^2 + x y e x^2 são homogêneos de grau 2 (ou seja, substituindo (x,y) por (t x,t y) cada termo ganha um fator t^2), podemos usar a substituição y = v x para reduzir a equação a uma forma separável.

Passo 2

Reescrevendo a equação original como y^2 + x y + x^2dydx = 0, basta fazer a substituição. Primeiro, y = v x implica dydx = v + xdvdx. Além disso, y^2 + x y = x^2(v^2 + v).

Passo 3

Substituindo na equação reescrita e dividindo por x^2, obtemos
v^2 + v + v + xdvdx = 0 Longrightarrow xdvdx = -l(v^2 + 2vr)

Passo 4

Essa expressão é separável. Podemos reescrever como
dvv(v+2) = -dxx

Passo 5

Para integrar dfrac1v(v+2) usamos frações parciais:
1v(v+2) = 1/2v - 1/2v+2

Passo 6

Integrando ambos os lados,
12lnl|vv+2r| = -ln|x| + C

Passo 7

Multiplicando por 2 e exponenciando, obtemos
lnl|vv+2r| = -2ln|x| + C' Longrightarrow vv+2 = Cx^2

Passo 8

Voltando a y com v = tfracyx,
y/x(y/x)+2 = Cx^2 Longrightarrow x^2 yy + 2x = C,

Passo 9

que é a solução geral implícita da equação diferencial.

Resposta

x^2 yy + 2x = C

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