Demonstre:
$$d=\frac{e \operatorname{sen}\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)}{\cos \theta_{2}}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede demonstrar.
  • O enunciado pede demonstrar a fórmula
d=\frac{e\,\operatorname{sen}\!\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)}{\cos\theta_{2}}.
  • Da figura (peguei estes elementos da imagem enviada) temos:
    • e é a espessura do corpo entre as duas superfícies paralelas, medida ao longo da normal (ou seja, é a distância perpendicular entre as superfícies).
    • A luz incide na face superior formando o ângulo \theta_{1} com a normal; ao entrar no meio ela é refratada formando o ângulo \theta_{2} com a normal.
    • O raio emergente sai com o mesmo ângulo \theta_{1} (as superfícies são paralelas) e é paralelo ao raio incidente.
    • d é a distância perpendicular (a menor distância) entre os dois raios paralelos — isto é, o deslocamento lateral entre o raio incidente e o raio emergente (na figura isso aparece como um segmento perpendicular entre duas linhas paralelas).
  • Objetivo: usar geometria trigonométrica para relacionar d, e, \theta_{1} e \theta_{2} e obter a expressão pedida.

Passo 2

Organização da geometria: pontos e segmentos importantes e ideia geral da demonstração.
  • Denotemos por A o ponto de entrada na face superior e por C o ponto onde o raio sai da face inferior (esses pontos estão ligados pelo trajeto do raio dentro do meio).
  • O segmento AC é o trajeto do raio dentro do meio; a componente perpendicular de AC (projeção sobre a normal) é precisamente a espessura e.
  • A ideia: determinar o comprimento de AC em função de e e \theta_{2}, e depois usar a relação geométrica entre AC e a distância perpendicular entre os dois raios paralelos para obter d.

Passo 3

Cálculo do comprimento do trajeto interno AC usando trigonometria em triângulo retângulo.
  • No triângulo formado pelo segmento AC e a sua projeção sobre a normal temos uma relação com o cosseno do ângulo \theta_{2}. Explico devagar:
    • Por definição de cosseno num triângulo retângulo, o cosseno do ângulo entre AC e a normal é a razão entre a projeção perpendicular (o cateto adjacente) e a hipotenusa AC.
    • Aqui a projeção perpendicular vale e. O ângulo entre AC e a normal é \theta_{2}.
  • Portanto vale a igualdade
\cos\theta_{2}=\frac{e}{AC}.
  • Isolando AC obtemos
AC=\frac{e}{\cos\theta_{2}}.

Passo 4

Determinar a distância perpendicular d entre as duas retas paralelas a partir de AC.
  • Observe que o raio dentro do meio (segmento AC) forma com o raio emergente (ou o raio incidente, que é paralelo ao emergente) um ângulo igual a \theta_{1}-\theta_{2}. Explico: ambos os raios externo e interno têm direções medidas a partir da normal de \theta_{1} e \theta_{2}, logo o ângulo entre essas direções é \theta_{1}-\theta_{2}.
  • A distância perpendicular entre duas retas paralelas que passam pelos extremos de um segmento é dada pela componente desse segmento na direção perpendicular às retas. Geometricamente, se temos um segmento de comprimento AC que faz um ângulo \theta_{1}-\theta_{2} com a direção da normal às retas, a componente perpendicular (a menor distância entre as retas) é
d = AC\cdot\operatorname{sen}\!\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right).
  • (Raciocínio extra curto para entender: a projeção perpendicular de um segmento de comprimento L sobre uma direção que forma ângulo \varphi com o segmento vale L\sin\varphi, portanto aqui L=AC e \varphi=\theta_{1}-\theta_{2}.)

Passo 5

Juntar as duas equalidades e concluir a demonstração.
  • Substituindo AC obtido no Passo 3 dentro da expressão do Passo 4:
d = AC\cdot\operatorname{sen}\!\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right) = \frac{e}{\cos\theta_{2}}\cdot\operatorname{sen}\!\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right).
  • Reordenando, obtemos exatamente
d=\frac{e\,\operatorname{sen}\!\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)}{\cos\theta_{2}}.

Resposta

d=\frac{e\,\operatorname{sen}\!\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)}{\cos\theta_{2}}

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