Demonstre:
$$d=\frac{e \operatorname{sen}\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)}{\cos \theta_{2}}
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede demonstrar.
- O enunciado pede demonstrar a fórmula
- Da figura (peguei estes elementos da imagem enviada) temos:
-
é a espessura do corpo entre as duas superfícies paralelas, medida ao longo da normal (ou seja, é a distância perpendicular entre as superfícies). - A luz incide na face superior formando o ângulo
com a normal; ao entrar no meio ela é refratada formando o ângulo com a normal. - O raio emergente sai com o mesmo ângulo
(as superfícies são paralelas) e é paralelo ao raio incidente. -
é a distância perpendicular (a menor distância) entre os dois raios paralelos — isto é, o deslocamento lateral entre o raio incidente e o raio emergente (na figura isso aparece como um segmento perpendicular entre duas linhas paralelas).
-
- Objetivo: usar geometria trigonométrica para relacionar
, , e e obter a expressão pedida.
Passo 2
Organização da geometria: pontos e segmentos importantes e ideia geral da demonstração.
- Denotemos por
o ponto de entrada na face superior e por o ponto onde o raio sai da face inferior (esses pontos estão ligados pelo trajeto do raio dentro do meio). - O segmento
é o trajeto do raio dentro do meio; a componente perpendicular de (projeção sobre a normal) é precisamente a espessura . - A ideia: determinar o comprimento de
em função de e , e depois usar a relação geométrica entre e a distância perpendicular entre os dois raios paralelos para obter .
Passo 3
Cálculo do comprimento do trajeto interno
usando trigonometria em triângulo retângulo.
- No triângulo formado pelo segmento
e a sua projeção sobre a normal temos uma relação com o cosseno do ângulo . Explico devagar: - Por definição de cosseno num triângulo retângulo, o cosseno do ângulo entre
e a normal é a razão entre a projeção perpendicular (o cateto adjacente) e a hipotenusa . - Aqui a projeção perpendicular vale
. O ângulo entre e a normal é .
- Por definição de cosseno num triângulo retângulo, o cosseno do ângulo entre
- Portanto vale a igualdade
- Isolando
obtemos
Passo 4
Determinar a distância perpendicular
entre as duas retas paralelas a partir de
.
- Observe que o raio dentro do meio (segmento
) forma com o raio emergente (ou o raio incidente, que é paralelo ao emergente) um ângulo igual a . Explico: ambos os raios externo e interno têm direções medidas a partir da normal de e , logo o ângulo entre essas direções é . - A distância perpendicular entre duas retas paralelas que passam pelos extremos de um segmento é dada pela componente desse segmento na direção perpendicular às retas. Geometricamente, se temos um segmento de comprimento
que faz um ângulo com a direção da normal às retas, a componente perpendicular (a menor distância entre as retas) é
- (Raciocínio extra curto para entender: a projeção perpendicular de um segmento de comprimento
sobre uma direção que forma ângulo com o segmento vale , portanto aqui e .)
Passo 5
Juntar as duas equalidades e concluir a demonstração.
- Substituindo
obtido no Passo 3 dentro da expressão do Passo 4:
- Reordenando, obtemos exatamente