Questano 4) Um capacitor de placas paralelas com área das placas igual a A e distância entre elas de a foi carregado até apresentar uma diferença de potencial desto. A seguir, um isolante é inserido entre as placas (antes era vácuo) preenchendo completamente o espaço entre as placas. A diferença de potencial diminui para
, enquanto a carga do capacitor permanece consiante. Calcule, em função dos parâmetros dados e de
: (a) a capacitância
após inserir o dielétrico; (b) o módulo da carga induzida
em cada face do dielétrico;
Passo 1
O enunciado (interpretação das informações fornecidas):
- Um capacitor de placas paralelas tem área de cada placa
e separação entre placas . - Inicialmente o espaço entre as placas era vácuo e o capacitor foi carregado até apresentar diferença de potencial
. - Em seguida um dielétrico (isolante) é inserido preenchendo completamente o espaço entre as placas. Depois disso a diferença de potencial passou a ser
. - A carga livre do capacitor permanece constante durante o processo (capacitor isolado).
O que se pede:
(a) a capacitânciado capacitor após inserir o dielétrico, em função de , , (e das grandezas dadas e );
(b) o módulo da carga induzidaem cada face do dielétrico, em função dos parâmetros dados e de .
Passo 2
Relembrando a fórmula básica para capacitor de placas paralelas (vácuo): a capacitância é dada por
onde
é a capacitância inicial,
é a permissividade do vácuo,
é a área de cada placa e
é a separação entre as placas.
Breve justificativa física (didática): a capacitância é definida por . Para placas paralelas com campo praticamente uniforme, o campo elétrico é
com
; a diferença de potencial é
. Substituindo dá
e, isolando
, chega-se em
.
Breve justificativa física (didática): a capacitância é definida por
Passo 3
Calculemos a carga livre
armazenada inicialmente e que permanece constante:
Expliquei: como o capacitor foi carregado até
e depois está isolado, a carga livre nas placas não muda quando se insere o dielétrico.
Passo 4
Após inserir o dielétrico homogêneo que preenche todo o espaço entre as placas, a nova capacitância pode ser escrita em função da nova diferença de potencial
e da carga constante
por
Substituindo a expressão de
do passo anterior:
Comentário didático: normalmente, para um dielétrico com constante dielétrica
tem-se
. Aqui, sem nomear
explicitamente, podemos notar que
. A expressão acima já dá
em termos dos dados fornecidos.
Passo 5
Agora vamos achar a carga ligada (induzida) nas faces do dielétrico. Ideia física e fórmula usada: a inserção do dielétrico gera polarização
no material. Para um dielétrico linear homogêneo,
onde
é a constante dielétrica e
é o campo elétrico dentro do dielétrico. A densidade de carga ligada (superficial) em cada face do dielétrico é
com
o módulo do campo dentro do dielétrico e
normal à superfície. O módulo da carga ligada em cada face será
.
Passo 6
Calcular
dentro do dielétrico após inserção: como a diferença de potencial agora é
e a separação é
, o campo (uniforme) vale
Portanto
e o módulo da carga induzida em cada face é
Passo 7
Expressar
em termos de
e
(útil para eliminar
e ficar só com as grandezas pedidas): como comentado no passo 4, comparando
com
obtém-se
Substituindo em
:
Simplificando o fator
, obtemos a forma final simples
Interpretação rápida e verificação de limites: se não houvesse alteração de potencial (
) então
— sem polarização aparente; se
for muito menor que
a carga induzida aumenta, como esperado.
Resposta
(a)
(b)