Questano 4) Um capacitor de placas paralelas com área das placas igual a A e distância entre elas de a foi carregado até apresentar uma diferença de potencial desto. A seguir, um isolante é inserido entre as placas (antes era vácuo) preenchendo completamente o espaço entre as placas. A diferença de potencial diminui para / \mathrm{V}, enquanto a carga do capacitor permanece consiante. Calcule, em função dos parâmetros dados e de \epsilon_{0} : (a) a capacitância C após inserir o dielétrico; (b) o módulo da carga induzida Q_{1} em cada face do dielétrico;

Passo 1

O enunciado (interpretação das informações fornecidas):
  • Um capacitor de placas paralelas tem área de cada placa \,A e separação entre placas \,a.
  • Inicialmente o espaço entre as placas era vácuo e o capacitor foi carregado até apresentar diferença de potencial \,V_0.
  • Em seguida um dielétrico (isolante) é inserido preenchendo completamente o espaço entre as placas. Depois disso a diferença de potencial passou a ser \,V.
  • A carga livre do capacitor permanece constante durante o processo (capacitor isolado).
    O que se pede:
    (a) a capacitância \,C do capacitor após inserir o dielétrico, em função de A, a, \epsilon_0 (e das grandezas dadas \,V_0 e \,V);
    (b) o módulo da carga induzida \,Q_1 em cada face do dielétrico, em função dos parâmetros dados e de \epsilon_0.

Passo 2

Relembrando a fórmula básica para capacitor de placas paralelas (vácuo): a capacitância é dada por
C_0=\frac{\epsilon_0 A}{a},
onde \,C_0 é a capacitância inicial, \epsilon_0 é a permissividade do vácuo, \,A é a área de cada placa e \,a é a separação entre as placas.
Breve justificativa física (didática): a capacitância é definida por \,C=Q/V. Para placas paralelas com campo praticamente uniforme, o campo elétrico é \,E=\sigma/\epsilon_0 com \sigma=Q/A; a diferença de potencial é \,V=E a. Substituindo dá \,V=(Q/A)(a/\epsilon_0) e, isolando C=Q/V, chega-se em \,C_0=\epsilon_0 A/a.

Passo 3

Calculemos a carga livre Q armazenada inicialmente e que permanece constante:
Q = C_0 V_0 = \frac{\epsilon_0 A}{a}\,V_0.
Expliquei: como o capacitor foi carregado até \,V_0 e depois está isolado, a carga livre nas placas não muda quando se insere o dielétrico.

Passo 4

Após inserir o dielétrico homogêneo que preenche todo o espaço entre as placas, a nova capacitância pode ser escrita em função da nova diferença de potencial \,V e da carga constante Q por
C=\frac{Q}{V}.
Substituindo a expressão de Q do passo anterior:
C=\frac{\dfrac{\epsilon_0 A}{a}\,V_0}{V}=\frac{\epsilon_0 A}{a}\,\frac{V_0}{V}.
Comentário didático: normalmente, para um dielétrico com constante dielétrica \kappa tem-se C=\kappa\epsilon_0 A/a. Aqui, sem nomear \kappa explicitamente, podemos notar que \kappa = V_0/V. A expressão acima já dá \,C em termos dos dados fornecidos.

Passo 5

Agora vamos achar a carga ligada (induzida) nas faces do dielétrico. Ideia física e fórmula usada: a inserção do dielétrico gera polarização \,P no material. Para um dielétrico linear homogêneo,
\mathbf{P}=\epsilon_0(\kappa-1)\mathbf{E},
onde \kappa é a constante dielétrica e \mathbf{E} é o campo elétrico dentro do dielétrico. A densidade de carga ligada (superficial) em cada face do dielétrico é
\sigma_b = \mathbf{P}\cdot\mathbf{\hat n} = \epsilon_0(\kappa-1)E,
com \,E o módulo do campo dentro do dielétrico e \mathbf{\hat n} normal à superfície. O módulo da carga ligada em cada face será |Q_1|=\sigma_b A.

Passo 6

Calcular \,E dentro do dielétrico após inserção: como a diferença de potencial agora é \,V e a separação é \,a, o campo (uniforme) vale
E=\frac{V}{a}.
Portanto
\sigma_b=\epsilon_0(\kappa-1)\frac{V}{a}
e o módulo da carga induzida em cada face é
Q_1=\sigma_b A=\epsilon_0(\kappa-1)\frac{V}{a}\,A.

Passo 7

Expressar \kappa em termos de \,V_0 e \,V (útil para eliminar \kappa e ficar só com as grandezas pedidas): como comentado no passo 4, comparando C=\kappa\epsilon_0 A/a com C=\dfrac{C_0 V_0}{V} obtém-se
\kappa=\frac{V_0}{V}.
Substituindo em Q_1:
Q_1=\epsilon_0\!\left(\frac{V_0}{V}-1\right)\!\frac{V}{a}\,A.
Simplificando o fator \left(\dfrac{V_0}{V}-1\right)V = V_0-V, obtemos a forma final simples
Q_1=\epsilon_0\frac{A}{a}\,(V_0-V).
Interpretação rápida e verificação de limites: se não houvesse alteração de potencial ( V=V_0) então Q_1=0 — sem polarização aparente; se V for muito menor que V_0 a carga induzida aumenta, como esperado.

Resposta

(a) \displaystyle C=\frac{\epsilon_0 A}{a}\,\frac{V_0}{V}
(b) \displaystyle Q_1=\epsilon_0\frac{A}{a}\,(V_0-V)

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