1. A velocidade de uma onda transversal em uma corda é 170 \mathrm{~m} / \mathrm{s} quando a tensão na corda é 120 N . Qual deve ser o valor da tensão para que a velocidade da onda aumente para 180 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara (peguei os números do enunciado):
  • Velocidade inicial da onda: v_1 = 170\\ \mathrm{m/s}.
  • Tensão na corda associada a essa velocidade: T_1 = 120\\ \mathrm{N}.
  • Velocidade desejada: v_2 = 180\\ \mathrm{m/s}.
O que o problema pede: encontrar a nova tensão T_2 necessária para que a velocidade da onda passe de v_1 para v_2.

Passo 2

A fórmula que relaciona a velocidade de uma onda transversal numa corda com a tensão e a massa por unidade de comprimento (densidade linear) é:
v = \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.
Explicando cada símbolo de forma simples:
  • v é a velocidade da onda na corda (em \mathrm{m/s}).
  • T é a tensão na corda (em \mathrm{N}).
  • \mu é a massa por unidade de comprimento da corda (em \mathrm{kg/m}); é uma propriedade fixa da corda enquanto não mudarmos a corda.
Intuição rápida: quanto maior a tensão T, mais “esticada” a corda fica e mais rápido se propagam as ondas; quanto maior \mu (corda mais pesada por metro), mais lenta a onda fica.

Passo 3

Como a corda é a mesma, a densidade linear \mu permanece a mesma para os dois casos. Podemos escrever a relação para os dois estados e eliminar \mu. Primeiro elevando ao quadrado a fórmula:
v^2=\dfrac{T}{\mu}.
Para os dois estados:
v_1^2=\dfrac{T_1}{\mu},\qquad v_2^2=\dfrac{T_2}{\mu}.
Fazendo a razão das duas equações para cancelar \mu:
\frac{v_2^2}{v_1^2}=\frac{T_2}{T_1}.

Passo 4

Isolando T_2 obtemos a fórmula prática que vamos usar:
T_2 = T_1\left(\dfrac{v_2}{v_1}\right)^2.
Agora substituímos os valores numéricos fornecidos:
T_2 = 120\left(\dfrac{180}{170}\right)^2.

Passo 5

Fazer as contas passo a passo sem calculadora (usar frações exatas ajuda):
\dfrac{180}{170}=\dfrac{18}{17}, \qquad \left(\dfrac{18}{17}\right)^2=\dfrac{324}{289}.
Portanto
T_2 = 120\cdot\dfrac{324}{289}=\dfrac{38880}{289}\\ \mathrm{N}.
Agora a aproximação decimal:
\dfrac{38880}{289}\approx 134{,}53\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento final: com os dados (duas ou três cifras significativas), faz sentido apresentar a resposta arredondada para três algarismos significativos:
T_2 \approx 135\\ \mathrm{N}.
Isso confirma a intuição: aumentar a velocidade de 170 para 180\\ \mathrm{m/s} (aumento de \sim6\%) exige um aumento da tensão de aproximadamente 12\%.

Resposta

T_2 \approx 135\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados