Questāo 3) Uma esfera de raio
, é feita de material cuja resistividade é
. Existe uma diferença de potencial entre o pónto central da esfera e a superficie externa, de modo que a corrente escoa radialmente. Qual a resistência para este escoamento radial de corrente?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já nos deu:
- Pedido: determinar a resistência entre o ponto central da esfera e a superfície externa, quando uma diferença de potencial faz a corrente escoar radialmente.
- Dados:
- Raio da esfera:
. - Resistividade do material:
. - Corrente escoa radialmente a partir do centro em todas as direções (simetria esférica).
- Raio da esfera:
- Observação importante (que aparece na resolução): o enunciado diz “ponto central” — isso implica área de contato no centro tendendo a zero, o que afeta a resposta. Vamos tratar isso cuidadosamente durante a resolução.
Passo 2
Ideia física e fórmulas locais que vamos usar (com explicação didática):
- Resistividade
relaciona o campo elétrico com a densidade de corrente por . Aqui tem unidades de . - Para um elemento de comprimento
ao longo do caminho da corrente, a pequena queda de potencial é . - A densidade de corrente é
, onde é a corrente total que atravessa a superfície e é a área transversal ao fluxo no ponto considerado. - Para um pequeno elemento radial numa esfera de raio
a área de seção atravessada pela corrente é a área da superfície esférica: . - A resistência de um elemento fino de material de comprimento
e área é dada por . Essa fórmula vem de combinar , e , e da definição .
Vou usar essas ideias aplicadas à geometria esférica.
Passo 3
Escrever o diferencial de resistência específico para a esfera e justificar:
- Em um ponto a distância
do centro, a área é . (Isso vem da área de uma superfície esférica.) - Então o diferencial de resistência ao atravessar um anel esférico de espessura
é
- Explicando: quanto menor a área
, maior a resistência por unidade de comprimento; como cresce com , as camadas próximas ao centro têm resistência muito grande por causa da pequena área.
Passo 4
Integrar o diferencial para obter a resistência total entre dois raios:
- Para integrar, precisamos dos limites radiais entre os quais a corrente passa. Se a corrente parte de um eletrodo interno de raio
e vai até a superfície da esfera de raio , integra-se de até :
- Calcule a integral:
. Portanto
- Interpretação física: a resistência entre uma superfície esférica interna de raio
e a superfície externa de raio é .
Passo 5
Tratar o caso pedido no enunciado (ponto central) e discutir o resultado:
- O enunciado fala do “ponto central”. Isso corresponde ao caso
. - Tomando
na expressão anterior:
- Conclusão física: a resistência diverge (vai para infinito) porque próximas ao centro a área de seção transversal tende a zero, produzindo uma contribuição de resistência arbitrariamente grande. Em termos práticos, um contato pontual ideal no centro não existe — um eletrodo real tem raio finito
e então a resistência finita é dada pela fórmula do passo anterior. - Nota prática: para estimar a resistência real de uma esfera com um contato no centro, substitua na fórmula o raio efetivo
do contato.