Questāo 3) Uma esfera de raio R, é feita de material cuja resistividade é \rho. Existe uma diferença de potencial entre o pónto central da esfera e a superficie externa, de modo que a corrente escoa radialmente. Qual a resistência para este escoamento radial de corrente?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já nos deu:
  • Pedido: determinar a resistência entre o ponto central da esfera e a superfície externa, quando uma diferença de potencial faz a corrente escoar radialmente.
  • Dados:
    • Raio da esfera: R.
    • Resistividade do material: \rho.
    • Corrente escoa radialmente a partir do centro em todas as direções (simetria esférica).
  • Observação importante (que aparece na resolução): o enunciado diz “ponto central” — isso implica área de contato no centro tendendo a zero, o que afeta a resposta. Vamos tratar isso cuidadosamente durante a resolução.

Passo 2

Ideia física e fórmulas locais que vamos usar (com explicação didática):
  • Resistividade \rho relaciona o campo elétrico \mathbf{E} com a densidade de corrente \mathbf{J} por \mathbf{E}=\rho\,\mathbf{J}. Aqui \rho tem unidades de \Omega\cdot\text{m}.
  • Para um elemento de comprimento dl ao longo do caminho da corrente, a pequena queda de potencial é dV=E\,dl.
  • A densidade de corrente é \,J=\dfrac{I}{A}\,, onde I é a corrente total que atravessa a superfície e A é a área transversal ao fluxo no ponto considerado.
  • Para um pequeno elemento radial numa esfera de raio r a área de seção atravessada pela corrente é a área da superfície esférica: A(r)=4\pi r^{2}.
  • A resistência de um elemento fino de material de comprimento dr e área A é dada por \,dR=\dfrac{\rho\,dr}{A}\,. Essa fórmula vem de combinar dV=E\,dr, E=\rho J e J=I/A, e da definição dV=I\,dR.
Vou usar essas ideias aplicadas à geometria esférica.

Passo 3

Escrever o diferencial de resistência específico para a esfera e justificar:
  • Em um ponto a distância r do centro, a área é A(r)=4\pi r^{2}. (Isso vem da área de uma superfície esférica.)
  • Então o diferencial de resistência ao atravessar um anel esférico de espessura dr é
dR=\dfrac{\rho\,dr}{4\pi r^{2}}.
  • Explicando: quanto menor a área A, maior a resistência por unidade de comprimento; como A cresce com r^{2}, as camadas próximas ao centro têm resistência muito grande por causa da pequena área.

Passo 4

Integrar o diferencial para obter a resistência total entre dois raios:
  • Para integrar, precisamos dos limites radiais entre os quais a corrente passa. Se a corrente parte de um eletrodo interno de raio a e vai até a superfície da esfera de raio R, integra-se de r=a até r=R:
R_{\text{total}}=\int_{r=a}^{r=R} dR=\int_{a}^{R}\dfrac{\rho\,dr}{4\pi r^{2}}.
  • Calcule a integral: \displaystyle\int \dfrac{dr}{r^{2}} = -\dfrac{1}{r}. Portanto
R_{\text{total}}=\dfrac{\rho}{4\pi}\left(-\dfrac{1}{r}\right)\Bigg|_{a}^{R}=\dfrac{\rho}{4\pi}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{R}\right).
  • Interpretação física: a resistência entre uma superfície esférica interna de raio a e a superfície externa de raio R é \dfrac{\rho}{4\pi}\!\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{R}\right).

Passo 5

Tratar o caso pedido no enunciado (ponto central) e discutir o resultado:
  • O enunciado fala do “ponto central”. Isso corresponde ao caso a\to 0.
  • Tomando a\to 0 na expressão anterior:
R_{\text{total}}=\dfrac{\rho}{4\pi}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{R}\right)\xrightarrow[a\to0]{}\infty.
  • Conclusão física: a resistência diverge (vai para infinito) porque próximas ao centro a área de seção transversal tende a zero, produzindo uma contribuição de resistência arbitrariamente grande. Em termos práticos, um contato pontual ideal no centro não existe — um eletrodo real tem raio finito a e então a resistência finita é dada pela fórmula do passo anterior.
  • Nota prática: para estimar a resistência real de uma esfera com um contato no centro, substitua na fórmula o raio efetivo a do contato.

Resposta

\displaystyle R=\dfrac{\rho}{4\pi}\Bigg(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{R}\Bigg) (para um eletrodo interno de raio a)
\displaystyle R\to\infty quando a\to0 (isto é, para um ponto central ideal a resistência diverge)

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