Demonstre que
dd x(cot x)=-csc ^2 x

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a derivada de cot x em relação a x é -csc^2 x. O conteúdo envolvido é a diferenciação de funções trigonométricas, e vamos usar a forma cot x = cos xsin x junto com a regra do quociente e as derivadas básicas de sin x e cos x.

Passo 2

Escrevemos
cot x = cos xsin x
Em seguida aplicamos a regra do quociente, que diz que, para u(x)=cos x e v(x)=sin x,
ddxl(uvr) = u'v - uv'v^2

Passo 3

Calculamos u'=ddx(cos x)=-sin x e v'=ddx(sin x)=cos x. Substituindo na regra do quociente:
ddx(cot x) = (-sin x),sin x - (cos x),(cos x)sin^2 x

Passo 4

No numerador temos
(-sin x),sin x - (cos x),cos x = -sin^2 x - cos^2 x
Como sin^2 x + cos^2 x = 1, isso fica
-sin^2 x - cos^2 x = -1

Passo 5

Logo
ddx(cot x) = -1sin^2 x = -1sin^2 x

Passo 6

Reconhecendo 1sin^2 x=csc^2 x, concluímos
ddx(cot x) = -csc^2 x

Resposta

ddx(cot x) = -csc^2 x

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