Exercício 2. (ELJ 39) Estude a diferenciabilidade da função
e ache
e sua matriz nos seguintes casos:
é dado por
, em que
é diferenciável.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
onde
é dada como diferenciável. Precisamos mostrar que
é diferenciável em todo
e encontrar sua diferencial
e a matriz dessa diferencial nas bases canônicas.
Passo 2
Observe que
pode ser vista como o emparelhamento de duas funções diferenciáveis: a identidade
,
, e
. Pelo fato de que o emparelhamento
é diferenciável sempre que cada componente é diferenciável, concluímos que
é diferenciável em todo
.
Passo 3
A diferencial de
em um ponto
age em um vetor
da seguinte forma:
Passo 4
Para escrever a matriz de
nas bases canônicas de
e
, organizamos a saída como um vetor em
. A matriz resultante é de tamanho
e tem a forma em blocos:
onde
é a matriz identidade
e
é a matriz jacobiana
de
em
.]
Resposta
A aplicação
é diferenciável em todo
. Sua diferencial é
e a matriz de
nas bases canônicas é