Exercício 2. (ELJ 39) Estude a diferenciabilidade da função F e ache d F(p) e sua matriz nos seguintes casos:
F: R^n R^n times R^k é dado por F(x)=(x, f(x)), em que f: R^n R^k é diferenciável.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Fcolon R^nto R^ntimes R^k, F(x)=(x,,f(x)),
onde fcolon R^nto R^k é dada como diferenciável. Precisamos mostrar que F é diferenciável em todo pinR^n e encontrar sua diferencial dF(p) e a matriz dessa diferencial nas bases canônicas.

Passo 2

Observe que F pode ser vista como o emparelhamento de duas funções diferenciáveis: a identidade
IdcolonR^ntoR^n, Id(x)=x, e fcolonR^ntoR^k. Pelo fato de que o emparelhamento
x;mapsto;(Id(x),,f(x))
é diferenciável sempre que cada componente é diferenciável, concluímos que F é diferenciável em todo p.

Passo 3

A diferencial de F em um ponto p age em um vetor hinR^n da seguinte forma:
dF(p),(h) = l(d(Id)(p)(h),,df(p)(h)r) = l(h,,df(p)(h)r)

Passo 4

Para escrever a matriz de dF(p) nas bases canônicas de R^n e R^n+k, organizamos a saída como um vetor em R^n+k. A matriz resultante é de tamanho (n+k)times n e tem a forma em blocos:
DF(p) = In[6pt] D f(p) ,
onde In é a matriz identidade ntimes n e D f(p) é a matriz jacobiana ktimes n de f em p.]

Resposta

A aplicação F é diferenciável em todo pinR^n. Sua diferencial é
dF(p)(h) = l(h,,df(p)(h)r),
e a matriz de dF(p) nas bases canônicas é
DF(p) = In[6pt] D f(p) ]

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