Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=1^infty 2^n(n+2)!

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty 2^n(n+2)!
Este é um caso de série numérica positiva, e uma ferramenta eficiente para decidir convergência é o teste da razão (d’Alembert).

Passo 2

Sejam an = 2^n(n+2)!. O teste da razão diz que, se
L = limntoinfty an+1an
existe e L<1, então a série sum an converge.

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 2^n+1(n+3)! 2^n(n+2)! = 2^n+1(n+3)!,(n+2)!2^n = 2n+3
Tomando o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty 2n+3 = 0

Passo 4

Como L=0<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente. Logo, a série original é convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty 2^n(n+2)! converge.

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