Exercício 1. (ELJ 38) Seja diferenciável. Vamos definir por
a) Mostre que é uma função diferenciável (Lembre-se que composta de funções diferenciáveis é diferenciável).
b) Seja e . Calcule em termos de usando a definição de derivada direcional.
c) Ache uma expressão para em termos de .
Passo 1
O enunciado define diferenciável e quer estudar
O conteúdo é composição de funções diferenciáveis, derivada direcional e diferencial total.
Passo 2
Definimos a função intermédia
Como as operações e são lineares (logo diferenciáveis), temos que é diferenciável. Então
é composição de (diferenciável por hipótese) com (diferenciável), logo é diferenciável.
Passo 3
Para fixo e , a derivada direcional de em direção a é
Agora
Pela diferenciabilidade de em ,
Logo
partial Fpartial v(x0,y0) =dfl(3x0-y0r)l(3h-kr)
Passo 4
A partir da derivada direcional em qualquer v=(h,k), concluímos que a diferencial total de F em (x0,y0) é o operador linear
a) F é diferenciável pois F=fcirc g com g(x,y)=3x-y e ambas são diferenciáveis.
b) partial Fpartial v(x0,y0)=dfl(3x0-y0r)(3h-k)
c) dF(x0,y0)(h,k)=dfl(3x0-y0r)(3h-k)