Exercício 1. (ELJ 38) Seja f: R^n R^k diferenciável. Vamos definir F: R^n times R^n R^k por
F(x, y)=f(3 x-y)
a) Mostre que F é uma função diferenciável (Lembre-se que composta de funções diferenciáveis é diferenciável).
b) Seja (x0, y0) in R^n times R^n e v=(h, k) in R^n times R^n. Calcule partial Fpartial v(x0, y0) em termos de f usando a definição de derivada direcional.
c) Ache uma expressão para d F(x0, y0) em termos de f.

Passo 1

O enunciado define fcolon R^ntoR^k diferenciável e quer estudar
Fcolon R^ntimesR^ntoR^k, F(x,y)=f(3x-y)
O conteúdo é composição de funções diferenciáveis, derivada direcional e diferencial total.

Passo 2

Definimos a função intermédia
gcolon R^ntimesR^ntoR^n, g(x,y)=3x-y
Como as operações (x,y)mapsto 3x e (x,y)mapsto -y são lineares (logo diferenciáveis), temos que g é diferenciável. Então
F = fcirc g
é composição de f (diferenciável por hipótese) com g (diferenciável), logo F é diferenciável.

Passo 3

Para (x0,y0) fixo e v=(h,k), a derivada direcional de F em direção a v é
partial Fpartial v(x0,y0) =limtto0F(x0+t h,,y0+t k)-F(x0,y0)t
Agora
F(x0+t h,,y0+t k) =fl(3(x0+t h)-(y0+t k)r) =fl(3x0-y0+t(3h-k)r)
Pela diferenciabilidade de f em 3x0-y0,
f(3x0-y0+t(3h-k))-f(3x0-y0)t ;xrightarrow[tto0]; df(3x0-y0)l(3h-kr)
Logo
partial Fpartial v(x0,y0) =dfl(3x0-y0r)l(3h-kr)

Passo 4

A partir da derivada direcional em qualquer v=(h,k), concluímos que a diferencial total de F em (x0,y0) é o operador linear
dF(x0,y0)colon R^ntimesR^ntoR^k, dF(x0,y0)(h,k) = dfl(3x0-y0r)l(3h - kr)
Em outras palavras,
dF(x0,y0) = dfl(3x0-y0r);circ;((h,k)mapsto 3h-k)

Resposta

a) F é diferenciável pois F=fcirc g com g(x,y)=3x-y e ambas são diferenciáveis.
b) partial Fpartial v(x0,y0)=dfl(3x0-y0r)(3h-k)
c) dF(x0,y0)(h,k)=dfl(3x0-y0r)(3h-k)

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