Demonstre que
dd x(csc x)=-csc x cot x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
ddxl(csc xr) = -csc x ,cot x
Aqui vamos usar o fato de que csc x = (sin x)^-1 e aplicar a regra da cadeia para potências.

Passo 2

Escrevemos
csc x = (sin x)^-1
Então, se definirmos u(x) = sin x, temos csc x = u(x)^-1.

Passo 3

Pela regra da cadeia, a derivada de u^-1 em relação a x é
ddxl(u^-1r) = -1 cdot u^-2 cdot u' = -u'(x),u(x)^-2

Passo 4

Aqui u(x)=sin x e u'(x)=cos x. Substituindo na expressão acima:
ddxl(csc xr) = -cos x ,(sin x)^-2 = -cos xsin^2 x

Passo 5

Agora só falta reescrever
-cos xsin^2 x = -l(1sin xr)l(cos xsin xr) = -csc x,cot x

Resposta

ddxl(csc xr) = -csc x,cot x

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