Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=1^infty (ln n)^nraiz[7]n^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty (ln n)^nraiz[7]n^n
O conteúdo usado será o teste da raiz de Cauchy (ou teste da raiz n-ésima), que é bem eficiente quando o termo geral tem potências dependentes de n.

Passo 2

Denotemos
an = (ln n)^nraiz[7]n^n =(ln n)^nn^,n/7
Pelo teste da raiz, calculamos
limntoinftyraiz[n]an =limntoinftyln nn^1/7
Aqui notamos que ln n cresce muito mais devagar que n^1/7. Logo
limntoinftyln nn^1/7=0

Passo 3

Como o limite L=limntoinftyraiz[n]an satisfaz L=0<1, o teste da raiz garante que a série sum an converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz).

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