6 Seja C um fio delgado com a forma da interseção da superfície x^2+y^2+z^2=5, z >= 0 com o plano x+y=1. Calcule o momento de inércia de C em relação ao eixo Z, se a densidade em cada ponto é proporcional à sua distância ao plano XY. Resp. 18k.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um fio fino C (massa linear proporcional à distância ao plano XY) em relação ao eixo Z.
A curva C é a interseção da esfera
x^2+y^2+z^2=5, z>=0
com o plano
x+y=1
Vamos usar parametrização de C e a definição
Iz=integralC(x^2+y^2),dm,
com dm=lambda,ds e lambda=k,z.

Passo 2

Determinar centro e raio da curva: o plano x+y=1 tem normal n=(1,1,0), sua distância ao origem é 1/raiz2, logo a interseção é um círculo de raio
R=raiz5-l(tfrac1raiz2r)^2 =raiztfrac92=tfrac3raiz2
O centro projetado no plano é O'=(tfrac12,tfrac12,0). Vetores ortonormais no plano são
u=1raiz2(1,-1,0), v=(0,0,1)
Então uma parametrização de todo o círculo é
r(theta)=O'+Rl(ucostheta+vsinthetar),
thetain[0,2pi), e o semicírculo com z>=0 corresponde a thetain[0,pi].

Passo 3

Escrevendo coordenadas:
x(theta)=tfrac12+tfrac32costheta, y(theta)=tfrac12-tfrac32costheta, z(theta)=tfrac3raiz2sintheta
O elemento de comprimento é ds=R,dtheta=tfrac3raiz2,dtheta. A densidade é lambda(theta)=k,z(theta). Logo
dm=lambda,ds =k,z(theta),ds =k,3raiz2sintheta;3raiz2,dtheta =k,92sintheta,dtheta

Passo 4

No integrando temos x^2+y^2. Usando a esfera,
x^2+y^2=5-z^2 =5-l(tfrac3raiz2sinthetar)^2 =1+9cos^2theta2
Assim
Iz =integralC(x^2+y^2),dm =integral0^pi1+9cos^2theta2;l(k92sinthetar),dtheta =k94integral0^pi(1+9cos^2theta)sintheta,dtheta

Passo 5

Calcular a integral. Seja u=costheta, então sintheta,dtheta=-du e theta:0topi u:1to-1:
integral0^pi(1+9cos^2theta)sintheta,dtheta =-integral1^-1(1+9u^2),du =integral-1^1(1+9u^2),du =2+6=8
Logo
Iz =k94times 8 =18,k

Resposta

O momento de inércia é Iz=18,k.

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