6 Seja
um fio delgado com a forma da interseção da superfície
com o plano
. Calcule o momento de inércia de
em relação ao eixo
, se a densidade em cada ponto é proporcional à sua distância ao plano XY. Resp. 18k.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de um fio fino
(massa linear proporcional à distância ao plano
) em relação ao eixo
.
A curva é a interseção da esfera
A curva
com o plano
Vamos usar parametrização de
e a definição
com
e
.
Passo 2
Determinar centro e raio da curva: o plano
tem normal
, sua distância ao origem é
, logo a interseção é um círculo de raio
O centro projetado no plano é
. Vetores ortonormais no plano são
Então uma parametrização de todo o círculo é
Passo 3
Escrevendo coordenadas:
O elemento de comprimento é
. A densidade é
. Logo
Passo 4
No integrando temos
. Usando a esfera,
Assim
Passo 5
Calcular a integral. Seja
, então
e
dá
:
Logo
Resposta
O momento de inércia é
.