1. Demonstre que dd x(sec x)=-sec x tg x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
ddx(sec x) ;=; -sec x,tan x
Para isso, vamos usar que sec x = (cos x)^-1 e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevendo sec x como potência, temos
sec x = (cos x)^-1
Logo, pela regra da cadeia,
ddx(sec x) = ddxl[(cos x)^-1r] = -1 cdot (cos x)^-2,ddx(cos x)

Passo 3

Sabemos que ddx(cos x) = -sin x. Substituindo,
ddx(sec x) = -(cos x)^-2 cdot (-sin x) = sin xcos^2 x = 1cos x,sin xcos x = sec x,tan x

Passo 4

Portanto, concluímos que
ddx(sec x) = sec x,tan x,
logo a fórmula dada no enunciado com sinal negativo está incorreta.

Resposta

A derivada correta é
ddx(sec x) = sec x,tan x,
e não -sec x,tan x.

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