Determine as seguintes integrais
integralC(x^2 y+sen x) d y, C é o arco da parabola y=x^2 do (0,0) e (pi, pi^2)\left(\right.) Resposta: pi^6 / 3+2 pi)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
integralCl(x^2y+sin xr),dy
ao longo de C, que é o arco da parábola y=x^2 de (0,0) até (pi,pi^2). Vamos usar parametrização de curvas e a fórmula
integralCF(x,y),dy=integrala^bFl(x(t),y(t)r),y'(t),dt

Passo 2

Parametrizamos C por
x(t)=t, y(t)=t^2, tin[0,pi]
Dessa forma
dy = y'(t),dt = 2t,dt

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integralCl(x^2y+sin xr),dy =integral0^pil(t^2cdot t^2 + sin tr),(2t,dt) =integral0^pil(2t^5 + 2tsin tr),dt

Passo 4

Separamos em duas integrais mais simples:
integral0^pi2t^5,dt e integral0^pi2tsin t,dt

Passo 5

Calculamos a primeira:
integral0^pi2t^5,dt =2[t^66]0^pi =pi^63

Passo 6

Para a segunda, usamos integração por partes, escolhendo
u=t, dv=sin t,dt ;Longrightarrow; du=dt,;v=-cos t
Então
integral0^pitsin t,dt =l[-tcos tr]0^pi +integral0^picos t,dt =-picospi+(sin t)0^pi =pi
Multiplicando por 2, resulta em 2pi.

Passo 7

Somando os dois resultados:
pi^63 + 2pi

Resposta

pi^63 + 2pi

Exercícios relacionados