Determine as seguintes integrais
integralC(x^2 y) d s, C: x=cos t, y=sen t, z=t, 0 <= t <= pi / 2. (Resposta: raiz2 / 3)

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralCx^2y,ds
na curva dada por
x=cos t, y=sin t, z=t, 0<= t<= pi2
Vamos usar parametrização e a fórmula
ds=raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2+l(tfracdzdtr)^2,dt

Passo 2

Expressar x^2y em função de t:
x^2y=(cos t)^2,sin t=cos^2t;sin t

Passo 3

Calcular ds:
ds =raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+1;dt =raizsin^2t+cos^2t+1;dt =raiz2;dt

Passo 4

Formar a integral em t:
integralCx^2y,ds =integral0^pi/2cos^2t,sin t;raiz2;dt =raiz2integral0^pi/2cos^2t,sin t;dt
Fazer a mudança de variável u=cos t, du=-sin t,dt, com u(0)=1, u(pi/2)=0.

Passo 5

Executar a substituição:
raiz2integral0^pi/2cos^2t,sin t,dt =raiz2integral1^0u^2(-du) =raiz2integral0^1u^2,du =raiz2l[tfracu^33r]0^1 =raiz23

Resposta

raiz23

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