As equações abaixo são equações autônomas. Em cada item, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Em seguida, esboce diversos gráficos das soluções.
Passo 1
O enunciado dá a equação autônoma
com condição inicial
.
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias autônomas em uma variável.
O que vamos fazer:
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias autônomas em uma variável.
O que vamos fazer:
- Determinar os pontos de equilíbrio (resolver
). - Calcular
para classificar a estabilidade. - Construir o diagrama de fases.
- Esboçar gráficos de
para diferentes .
Passo 2
Pontos de equilíbrio são soluções de
Temos
, logo
e portanto
Passo 3
Para classificar a estabilidade, calculemos
Em
obtemos
portanto
é um ponto de equilíbrio estável (atraitor).
Passo 4
Diagrama de fases sobre o eixo
:
- Se
, então e , ou seja, setas para a direita (cresce). - Se
, então e , ou seja, setas para a esquerda (decresce).
Todos os fluxos convergem paraquando .
Passo 5
Esboço qualitativo de
:
- Para
: decresce monotonicamente de até conforme , e diverge para no passado ( ). - Para
: cresce monotonicamente de até conforme , e diverge para no passado.
Em ambos os casos a convergência aé exponencial.
Resposta
O único ponto de equilíbrio é
e ele é estável.