As equações abaixo são equações autônomas. Em cada item, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Em seguida, esboce diversos gráficos das soluções.
d yd t=e^-y-1, infty<y0<infty

Passo 1

O enunciado dá a equação autônoma
d yd t=e^-y-1,
com condição inicial y(0)=y0inR.
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias autônomas em uma variável.
O que vamos fazer:
  1. Determinar os pontos de equilíbrio (resolver f(y)=0).
  2. Calcular f'(y) para classificar a estabilidade.
  3. Construir o diagrama de fases.
  4. Esboçar gráficos de y(t) para diferentes y0.

Passo 2

Pontos de equilíbrio são soluções de
e^-y-1=0
Temos e^-y=1, logo -y=0 e portanto
y^*=0

Passo 3

Para classificar a estabilidade, calculemos
f'(y)=ddyl(e^-y-1r)=-e^-y
Em y=0 obtemos
f'(0)=-e^0=-1<0,
portanto y=0 é um ponto de equilíbrio estável (atraitor).

Passo 4

Diagrama de fases sobre o eixo y:
  • Se y<0, então e^-y>1 e f(y)=e^-y-1>0, ou seja, setas para a direita (cresce).
  • Se y>0, então e^-y<1 e f(y)=e^-y-1<0, ou seja, setas para a esquerda (decresce).
    Todos os fluxos convergem para y=0 quando tto+infty.

Passo 5

Esboço qualitativo de y(t):
  • Para y(0)=y0>0: y(t) decresce monotonicamente de y0 até 0 conforme tto+infty, e diverge para +infty no passado ( tto-infty).
  • Para y(0)=y0<0: y(t) cresce monotonicamente de y0 até 0 conforme tto+infty, e diverge para -infty no passado.
    Em ambos os casos a convergência a 0 é exponencial.

Resposta

O único ponto de equilíbrio é
y^*=0,
e ele é estável.

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