Se
e
, utilize a expressão
como definição do produto interno e demonstre as propriedades usuais:
Passo 1
O enunciado dá duas informações essenciais e pede uma coisa clara:
- Dados:
e . - Definição do produto interno (produto escalar):
. - Pedido: demonstrar a identidade
onde
é um número real (um escalar).
Aqui eu identifiquei o que foi dado (componentes e a definição do produto escalar) e qual é exatamente a igualdade que devemos provar. A partir do Passo 2 eu começo a trabalhar a demonstração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, lembrar e explicar o que significa multiplicar um vetor por um escalar: multiplicar a vetor
pelo escalar
significa multiplicar cada componente de
por
. Ou seja,
Isto é apenas a definição de multiplicação escalar em coordenadas: o escalar escala cada componente do vetor.
Passo 3
Agora aplicamos a definição do produto escalar à expressão
. Usando as componentes de
e
,
Aqui apenas substituí as componentes do vetor
na fórmula
.
Passo 4
Fatoramos
em cada termo da soma do passo anterior. Isso é permitido porque
é um número real e a multiplicação real é distributiva em relação à soma; em outras palavras,
. Assim,
Agora
aparece em todos os três termos, então podemos escrever
Passo 5
Reconhecemos a soma dentro dos parênteses: pela definição do produto escalar essa soma é exatamente
. Portanto
Essa é a primeira igualdade que queríamos:
.
Passo 6
Agora fazemos a mesma coisa para
. Primeiro escrevemos
pelas suas componentes:
Aplicando a definição do produto escalar,
Passo 7
Novamente usamos a propriedade distributiva da multiplicação real para tirar
dos produtos:
E, como antes, a soma entre parênteses é
. Logo
Passo 8
Agora juntamos os resultados dos passos anteriores: temos
Portanto todas as três expressões são iguais:
Passo 9
Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido (apenas ilustrativo): tome
,
e
. Então
, assim
. Por outro lado
e
. Também
. Resultado coerente com a demonstração.