Se \vec{a}=a_{1} \vec{i}+a_{2} \vec{j}+a_{3} \vec{k} e \vec{b}=b_{1} \vec{i}+b_{2} \vec{j}+b_{3} \vec{k}, utilize a expressão \vec{a} \cdot \vec{b}= a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3} como definição do produto interno e demonstre as propriedades usuais:
x(\vec{a} \cdot \vec{b})=(x \vec{a}) \cdot \vec{b}=\vec{a} \cdot(x \vec{b})

Passo 1

O enunciado dá duas informações essenciais e pede uma coisa clara:
  • Dados: \vec{a}=a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k} e \vec{b}=b_{1}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+b_{3}\vec{k}.
  • Definição do produto interno (produto escalar): \vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
  • Pedido: demonstrar a identidade
x(\vec{a}\cdot\vec{b})=(x\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(x\vec{b}),
onde x é um número real (um escalar).
Aqui eu identifiquei o que foi dado (componentes e a definição do produto escalar) e qual é exatamente a igualdade que devemos provar. A partir do Passo 2 eu começo a trabalhar a demonstração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, lembrar e explicar o que significa multiplicar um vetor por um escalar: multiplicar a vetor \vec{a} pelo escalar x significa multiplicar cada componente de \vec{a} por x. Ou seja,
x\vec{a} = x a_{1}\vec{i} + x a_{2}\vec{j} + x a_{3}\vec{k}.
Isto é apenas a definição de multiplicação escalar em coordenadas: o escalar escala cada componente do vetor.

Passo 3

Agora aplicamos a definição do produto escalar à expressão (x\vec{a})\cdot\vec{b}. Usando as componentes de x\vec{a} e \vec{b},
(x\vec{a})\cdot\vec{b} = (x a_{1})b_{1} + (x a_{2})b_{2} + (x a_{3})b_{3}.
Aqui apenas substituí as componentes do vetor x\vec{a} na fórmula \vec{u}\cdot\vec{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.

Passo 4

Fatoramos x em cada termo da soma do passo anterior. Isso é permitido porque x é um número real e a multiplicação real é distributiva em relação à soma; em outras palavras, x(u+v)=xu+xv. Assim,
(x\vec{a})\cdot\vec{b} = x(a_{1}b_{1}) + x(a_{2}b_{2}) + x(a_{3}b_{3}).
Agora x aparece em todos os três termos, então podemos escrever
(x\vec{a})\cdot\vec{b} = x\bigl(a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\bigr).

Passo 5

Reconhecemos a soma dentro dos parênteses: pela definição do produto escalar essa soma é exatamente \vec{a}\cdot\vec{b}. Portanto
(x\vec{a})\cdot\vec{b} = x(\vec{a}\cdot\vec{b}).
Essa é a primeira igualdade que queríamos: (x\vec{a})\cdot\vec{b}=x(\vec{a}\cdot\vec{b}).

Passo 6

Agora fazemos a mesma coisa para \vec{a}\cdot(x\vec{b}). Primeiro escrevemos x\vec{b} pelas suas componentes:
x\vec{b} = x b_{1}\vec{i} + x b_{2}\vec{j} + x b_{3}\vec{k}.
Aplicando a definição do produto escalar,
\vec{a}\cdot(x\vec{b}) = a_{1}(x b_{1}) + a_{2}(x b_{2}) + a_{3}(x b_{3}).

Passo 7

Novamente usamos a propriedade distributiva da multiplicação real para tirar x dos produtos:
\vec{a}\cdot(x\vec{b}) = x(a_{1}b_{1}) + x(a_{2}b_{2}) + x(a_{3}b_{3}) = x\bigl(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\bigr).
E, como antes, a soma entre parênteses é \vec{a}\cdot\vec{b}. Logo
\vec{a}\cdot(x\vec{b}) = x(\vec{a}\cdot\vec{b}).

Passo 8

Agora juntamos os resultados dos passos anteriores: temos
(x\vec{a})\cdot\vec{b} = x(\vec{a}\cdot\vec{b}) \quad\text{e}\quad \vec{a}\cdot(x\vec{b}) = x(\vec{a}\cdot\vec{b}).
Portanto todas as três expressões são iguais:
x(\vec{a}\cdot\vec{b}) = (x\vec{a})\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot(x\vec{b}).

Passo 9

Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido (apenas ilustrativo): tome \vec{a}=(1,2,3), \vec{b}=(4,5,6) e x=2. Então \vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=4+10+18=32, assim x(\vec{a}\cdot\vec{b})=2\cdot32=64. Por outro lado x\vec{a}=(2,4,6) e (x\vec{a})\cdot\vec{b}=2\cdot4+4\cdot5+6\cdot6=8+20+36=64. Também \vec{a}\cdot(x\vec{b})=1\cdot8+2\cdot10+3\cdot12=8+20+36=64. Resultado coerente com a demonstração.

Resposta

x(\vec{a}\cdot\vec{b})=(x\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(x\vec{b})

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