Se \vec{a}=a_{1} \vec{i}+a_{2} \vec{j}+a_{3} \vec{k} e \vec{b}=b_{1} \vec{i}+b_{2} \vec{j}+b_{3} \vec{k}, utilize a expressão \vec{a} \cdot \vec{b}= a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3} como definição do produto interno e demonstre as propriedades usuais:
\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}, \vec{b}=b_{1}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+b_{3}\vec{k} e usa como definição do produto interno a expressão \vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.\n
A pergunta é: demonstrar que \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}.\n
Informações relevantes dadas: as componentes a_i,b_i,c_i são números reais e a definição do produto interno em componentes é a soma dos produtos das componentes correspondentes.

Passo 2

Primeiro lembre como se forma \vec{b}+\vec{c} em componentes: a adição de vetores é componente a componente. Assim
\vec{b}+\vec{c}=(b_{1}+c_{1})\vec{i}+(b_{2}+c_{2})\vec{j}+(b_{3}+c_{3})\vec{k}.
Isto significa que, ao somar vetores, somamos cada par de componentes correspondentes.

Passo 3

Agora aplicamos a definição do produto interno à expressão \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}). Substituindo a componente do vetor \vec{b}+\vec{c} na definição, obtemos
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=a_{1}(b_{1}+c_{1})+a_{2}(b_{2}+c_{2})+a_{3}(b_{3}+c_{3}).
Aqui cada termo a_{i}(b_{i}+c_{i}) é um produto de números reais.

Passo 4

Usamos a propriedade distributiva dos números reais: para quaisquer reais x,y,z vale x(y+z)=xy+xz. Aplicando essa propriedade a cada um dos três termos obtemos
a_{1}(b_{1}+c_{1})=a_{1}b_{1}+a_{1}c_{1},
a_{2}(b_{2}+c_{2})=a_{2}b_{2}+a_{2}c_{2},
a_{3}(b_{3}+c_{3})=a_{3}b_{3}+a_{3}c_{3}.
Somando essas três igualdades (usando associatividade e comutatividade da soma) resulta
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=(a_{1}b_{1}+a_{1}c_{1})+(a_{2}b_{2}+a_{2}c_{2})+(a_{3}b_{3}+a_{3}c_{3}).

Passo 5

Agora apenas reagrupamos os termos pareando os que envolvem \vec{b} e os que envolvem \vec{c}:
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})+(a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3}).
Pelo enunciado, o primeiro parêntese é exatamente \vec{a}\cdot\vec{b} e o segundo é \vec{a}\cdot\vec{c}. Portanto
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}.

Passo 6

Comentário didático final e generalização curta: a prova usou só a definição componente a componente e a distributividade dos reais. Em notação de somatório a mesma demonstração é ainda mais compacta:
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\sum_{i=1}^{3} a_{i}(b_{i}+c_{i})=\sum_{i=1}^{3}a_{i}b_{i}+\sum_{i=1}^{3}a_{i}c_{i}=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}.
Isto mostra que o produto escalar é distributivo em relação à adição de vetores (e a mesma ideia vale em dimensão n).

Resposta

\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}

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