Se
e
, utilize a expressão
como definição do produto interno e demonstre as propriedades usuais:
Passo 1
O enunciado dá os vetores
,
e usa como definição do produto interno a expressão
.\n
A pergunta é: demonstrar que .\n
Informações relevantes dadas: as componentes são números reais e a definição do produto interno em componentes é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
A pergunta é: demonstrar que
Informações relevantes dadas: as componentes
Passo 2
Primeiro lembre como se forma
em componentes: a adição de vetores é componente a componente. Assim
Isto significa que, ao somar vetores, somamos cada par de componentes correspondentes.
Passo 3
Agora aplicamos a definição do produto interno à expressão
. Substituindo a componente do vetor
na definição, obtemos
Aqui cada termo
é um produto de números reais.
Passo 4
Usamos a propriedade distributiva dos números reais: para quaisquer reais
vale
. Aplicando essa propriedade a cada um dos três termos obtemos
Somando essas três igualdades (usando associatividade e comutatividade da soma) resulta
Passo 5
Agora apenas reagrupamos os termos pareando os que envolvem
e os que envolvem
:
Pelo enunciado, o primeiro parêntese é exatamente
e o segundo é
. Portanto
Passo 6
Comentário didático final e generalização curta: a prova usou só a definição componente a componente e a distributividade dos reais. Em notação de somatório a mesma demonstração é ainda mais compacta:
Isto mostra que o produto escalar é distributivo em relação à adição de vetores (e a mesma ideia vale em dimensão
).