Dados
. Utilizando as propriedades da Adição e da Multiplicação em
, mostre que se tem:
Passo 1
O enunciado dá
(note que
não é usado na demonstração) e pede para mostrar que
Informações relevantes que podemos usar (propriedades da adição e multiplicação em
):
- Para todo
existe o inverso aditivo tal que . - Para todo
vale . - A multiplicação é distributiva sobre a adição: para todo
, - A multiplicação é comutativa e associativa: para todo
,
Vamos usar apenas essas propriedades elementares passo a passo.
Passo 2
Começo lembrando a identidade básica do inverso aditivo:
Se multiplicarmos essa igualdade por
(à esquerda ou à direita, por comutatividade não importa), obtemos algo útil. Usamos também que
.
Passo 3
Multiplicando
por
à esquerda, obtemos
Pelo fato de
e pela distributividade, isso vira
Escrevendo
como
, temos
Isso implica, por definição do inverso aditivo, que
Passo 4
Pela comutatividade da multiplicação podemos trocar os fatores em
:
Usando o resultado do passo anterior, conclui-se
Passo 5
Agora multiplico a identidade
por
(novamente usando distributividade e que qualquer coisa vezes
é
):
Aplicando distributividade obtém-se
Substituindo
(do passo 4) na última igualdade,
Daí segue
Ou seja,
Passo 6
Quero agora relacionar
com
. Primeiro mostro uma identidade geral: para todo
,
Prova curta:
, logo
é o inverso aditivo de
, isto é
.
Aplicando isso com
temos
Pela associatividade da multiplicação,
. Portanto
Passo 7
Finalmente juntamos os resultados anteriores para calcular
:
Do passo 5 sabemos que
, então
Do passo 6 sabemos que
. Assim concluímos
Passo 8
Cheque rápido com um exemplo numérico para ficar tranquilo: se
, então
e
. Batem certinho.