Dados a, b \in Z. Utilizando as propriedades da Adição e da Multiplicação em Z, mostre que se tem:
(-a)^{3}=-a^{3}

Passo 1

O enunciado dá a, b \in \mathbb{Z} (note que b não é usado na demonstração) e pede para mostrar que
(-a)^{3} = -a^{3}.
Informações relevantes que podemos usar (propriedades da adição e multiplicação em \mathbb{Z}):
  • Para todo x\in\mathbb{Z} existe o inverso aditivo -x tal que x + (-x) = 0.
  • Para todo x\in\mathbb{Z} vale x\cdot 0 = 0.
  • A multiplicação é distributiva sobre a adição: para todo x,y,z\in\mathbb{Z}, x(y+z)=xy+xz.
  • A multiplicação é comutativa e associativa: para todo x,y,z\in\mathbb{Z}, xy=yx,\qquad (xy)z=x(yz).
Vamos usar apenas essas propriedades elementares passo a passo.

Passo 2

Começo lembrando a identidade básica do inverso aditivo:
a + (-a) = 0.
Se multiplicarmos essa igualdade por a (à esquerda ou à direita, por comutatividade não importa), obtemos algo útil. Usamos também que a\cdot 0 = 0.

Passo 3

Multiplicando a + (-a) = 0 por a à esquerda, obtemos
a\bigl(a + (-a)\bigr) = a\cdot 0.
Pelo fato de a\cdot 0 = 0 e pela distributividade, isso vira
a\cdot a + a\cdot(-a) = 0.
Escrevendo a\cdot a como a^{2}, temos
a^{2} + a(-a) = 0.
Isso implica, por definição do inverso aditivo, que
a(-a) = -a^{2}.

Passo 4

Pela comutatividade da multiplicação podemos trocar os fatores em a(-a):
(-a)a = a(-a).
Usando o resultado do passo anterior, conclui-se
(-a)a = -a^{2}.

Passo 5

Agora multiplico a identidade a + (-a) = 0 por (-a) (novamente usando distributividade e que qualquer coisa vezes 0 é 0):
(-a)\bigl(a + (-a)\bigr) = (-a)\cdot 0 = 0.
Aplicando distributividade obtém-se
(-a)a + (-a)(-a) = 0.
Substituindo (-a)a = -a^{2} (do passo 4) na última igualdade,
- a^{2} + (-a)(-a) = 0.
Daí segue
(-a)(-a) = a^{2}.
Ou seja,
(-a)^{2} = a^{2}.

Passo 6

Quero agora relacionar a^{2}(-a) com -a^{3}. Primeiro mostro uma identidade geral: para todo x\in\mathbb{Z},
x(-a) = -(x a).
Prova curta: x(-a) + xa = x(-a + a) = x\cdot 0 = 0, logo x(-a) é o inverso aditivo de xa, isto é x(-a)=-(xa).
Aplicando isso com x = a^{2} temos
a^{2}(-a) = -(a^{2}a).
Pela associatividade da multiplicação, a^{2}a = a^{3}. Portanto
a^{2}(-a) = -a^{3}.

Passo 7

Finalmente juntamos os resultados anteriores para calcular (-a)^{3}:
(-a)^{3} = (-a)^{2}\cdot(-a).
Do passo 5 sabemos que (-a)^{2}=a^{2}, então
(-a)^{3} = a^{2}(-a).
Do passo 6 sabemos que a^{2}(-a) = -a^{3}. Assim concluímos
(-a)^{3} = -a^{3}.

Passo 8

Cheque rápido com um exemplo numérico para ficar tranquilo: se a=2, então (-2)^{3} = -8 e -2^{3} = -8. Batem certinho.

Resposta

(-a)^{3} = -a^{3}

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