Demostre os seguintes resultados por indução, para o inteiro n \geq 1 :
4^{n}+15 n-1 é divisível por 9 .

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que, para todo inteiro n\ge 1, o número 4^{n}+15n-1 é divisível por 9.
Informações dadas: n é um inteiro e satisfaz n\ge 1.
Meta da prova: mostrar que existe um inteiro (dependendo de n) tal que 4^{n}+15n-1 = 9\cdot(\text{esse inteiro}).

Passo 2

Base da indução (caso n=1). Vou verificar explicitamente que a afirmativa vale para n=1.
Calculo:
4^{1}+15\cdot 1 -1 = 4+15-1 = 18.
Como 18 = 9\cdot 2, concluímos que 9 divide 4^{1}+15\cdot 1 -1. Logo a base da indução está correta.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que, para algum k\ge 1, a afirmativa seja verdadeira, ou seja, suponha que existe um inteiro t tal que
4^{k}+15k-1 = 9t.
Essa é a hipótese de indução.

Passo 4

Passo indutivo: mostrar que a afirmativa vale para n=k+1. Começo calculando 4^{k+1}+15(k+1)-1 e tento relacionar com a expressão da hipótese.
4^{k+1}+15(k+1)-1 = 4\cdot 4^{k} + 15k + 15 -1 = 4\cdot 4^{k} + 15k + 14.
Agora escrevo isso em função de 4^{k}+15k-1. Uso a hipótese 4^{k}+15k-1=9t:
\begin{aligned} 4^{k+1}+15(k+1)-1 &= 4\bigl(4^{k}+15k-1\bigr) - \bigl(4\cdot(15k-1) - (15k+14)\bigr) \\\ \text{mas é mais simples fazer a substituição direta:} &\\\\ 4^{k+1}+15(k+1)-1 &= 4\cdot 4^{k} + 15k + 14 \\\ &= 4\bigl(4^{k}+15k-1\bigr) - 9(5k-2). \end{aligned}éçã
Para ver por que o último passo é correto, expandimos 4\bigl(4^{k}+15k-1\bigr) - 9(5k-2):
4^{k+1} + 60k -4 -45k +18 = 4^{k+1} + 15k +14,
que coincide com nossa expressão inicial. Agora, usando a hipótese 4^{k}+15k-1=9t, obtemos
4^{k+1}+15(k+1)-1 = 4\cdot 9t - 9(5k-2) = 9\bigl(4t - 5k +2\bigr).
Logo 4^{k+1}+15(k+1)-1 é múltiplo de 9. Assim a propriedade vale para k+1.

Passo 5

Conclusão pela indução matemática: como a propriedade é verdadeira para n=1 e, sempre que é verdadeira para n=k implica que é verdadeira para n=k+1, segue que a propriedade vale para todo inteiro n\ge 1.

Resposta

9 \mid (4^{n}+15n-1) para todo n\ge 1.

Exercícios relacionados