Demostre os seguintes resultados por indução, para o inteiro
:
é divisível por 9 .
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que, para todo inteiro
, o número
é divisível por 9.
Informações dadas: é um inteiro e satisfaz
.
Meta da prova: mostrar que existe um inteiro (dependendo de ) tal que
.
Informações dadas:
Meta da prova: mostrar que existe um inteiro (dependendo de
Passo 2
Base da indução (caso
). Vou verificar explicitamente que a afirmativa vale para
.
Calculo:
Calculo:
Como
, concluímos que
divide
. Logo a base da indução está correta.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que, para algum
, a afirmativa seja verdadeira, ou seja, suponha que existe um inteiro
tal que
Essa é a hipótese de indução.
Passo 4
Passo indutivo: mostrar que a afirmativa vale para
. Começo calculando
e tento relacionar com a expressão da hipótese.
Agora escrevo isso em função de
. Uso a hipótese
:
Para ver por que o último passo é correto, expandimos
:
que coincide com nossa expressão inicial. Agora, usando a hipótese
, obtemos
Logo
é múltiplo de
. Assim a propriedade vale para
.
Passo 5
Conclusão pela indução matemática: como a propriedade é verdadeira para
e, sempre que é verdadeira para
implica que é verdadeira para
, segue que a propriedade vale para todo inteiro
.