Demonstre que:
Se E1=(exists x)(p(x) vee q(x)) e E2=(exists x) p(x) vee(exists x) q(x), então E1 equivale a E2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a lógica de predicados valida a equivalência entre E1 e E2, onde estamos lidando com a distribuição do quantificador existencial sobre a disjunção. Para isso, vamos provar os dois sentidos da equivalência: E1 Rightarrow E2 e E2 Rightarrow E1.

Passo 2

Prova de E1 Rightarrow E2: suponha (exists x)(p(x) lor q(x)) verdadeiro. Então existe algum termo, digamos a, tal que p(a) lor q(a) é verdade. Se p(a) for verdadeiro, temos (exists x)p(x). Caso contrário, se q(a) for verdadeiro, temos (exists x)q(x). Em ambos os casos, (exists x)p(x) lor (exists x)q(x) é verdadeiro, ou seja, E2 vale.

Passo 3

Prova de E2 Rightarrow E1: suponha (exists x)p(x) lor (exists x)q(x) verdadeiro. Se (exists x)p(x) for verdadeiro, existe a com p(a), e daí p(a) lor q(a) vale, logo (exists x)(p(x) lor q(x)). De modo análogo, se (exists x)q(x) for verdadeiro, também obtemos (exists x)(p(x) lor q(x)). Portanto, E1 vale.

Passo 4

Como mostramos ambos os sentidos E1 Rightarrow E2 e E2 Rightarrow E1, concluímos que E1 e E2 são logicamente equivalentes.

Resposta

E_{1} equivale a E_{2}

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