Demonstre que:
Se
e
, então
equivale a
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a lógica de predicados valida a equivalência entre
e
, onde estamos lidando com a distribuição do quantificador existencial sobre a disjunção. Para isso, vamos provar os dois sentidos da equivalência:
e
.
Passo 2
Prova de
: suponha
verdadeiro. Então existe algum termo, digamos
, tal que
é verdade. Se
for verdadeiro, temos
. Caso contrário, se
for verdadeiro, temos
. Em ambos os casos,
é verdadeiro, ou seja,
vale.
Passo 3
Prova de
: suponha
verdadeiro. Se
for verdadeiro, existe
com
, e daí
vale, logo
. De modo análogo, se
for verdadeiro, também obtemos
. Portanto,
vale.
Passo 4
Como mostramos ambos os sentidos
e
, concluímos que
e
são logicamente equivalentes.
Resposta
E_{1} equivale a E_{2}