Demonstre que:
Se E1=(forall x)(p(x) q(x)) e E2=(exists x) p(x) (forall x) q(x), então E2 implica em E1, mas E1 não implica em E2.

Passo 1

Temos duas fórmises em lógica de predicados:
E₁: (∀x)(p(x) → q(x))
E₂: (∃x) p(x) → (∀x) q(x)
O conteúdo aqui é quantificadores e implicação, e vamos precisar usar prova por casos e contraexemplo.

Passo 2

Queremos mostrar que E₂ ⇒ E₁. Suponha que E₂ seja verdadeira e tome um elemento arbitrário a do domínio. Para provar E₁, basta mostrar p(a) → q(a).

Passo 3

Fazemos prova por casos para p(a):
Caso 1: p(a) é falsa. Então p(a) → q(a) é verdadeira (verdadeiro implica qualquer coisa).
Caso 2: p(a) é verdadeira. Então (∃x)p(x) vale, e como E₂ é verdadeira, obtemos (∀x)q(x). Em particular q(a) é verdadeira. Logo p(a) → q(a) é verdadeira.
Em ambos os casos p(a) → q(a) vale, e como a era arbitrário, obtemos (∀x)(p(x) → q(x)), ou seja E₁.

Passo 4

Agora vemos que E₁ ⇏ E₂. Usamos um contraexemplo: domínio = {a,b}, definimos p(a)=V, q(a)=V, p(b)=F, q(b)=F.
Então para todo x: se p(x) então q(x) é verdadeiro (pois só em “a” p é V e aí q também é V; em b p é F e então a implicação é V). Logo E₁ vale.
Mas (∃x)p(x) é verdadeiro (p(a)=V) e (∀x)q(x) é falso (q(b)=F). Logo E₂ = V → F = F.

Passo 5

Portanto, mostramos que E₂ implica E₁, mas E₁ não implica E₂.

Resposta

E₂ implica em E₁ via prova por casos, mas E₁ não implica em E₂ conforme o contraexemplo dado.

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