A partícula A e a partícula B são mantidas juntas com uma mola comprimida entre elas. A mola possui k=1200 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e está comprimida de 0,1 \mathrm{~m}. Quando elas são soltas, a mola empurra cada uma das partículas para longe da outra e elas saem voando em sentidos opostos, livres da mola. A massa de A é 2 kg e a massa de B é 1 kg . Suponha que a mola tenha massa desprezível e que toda a energia que esteja armazenada nela seja transferida para os corpos. Qual a velocidade final de A e B ? (2 pontos)

Passo 1

O enunciado pede as velocidades finais das partículas A e B depois que a mola comprimida entre elas é solta e toda a energia armazenada na mola vira energia cinética das partículas. Informações dadas:
k=1200\\ \mathrm{N/m},\quad x=0,1\\ \mathrm{m},
m_A=2\\ \mathrm{kg},\quad m_B=1\\ \mathrm{kg}.
A mola tem massa desprezível e o sistema parte do repouso (momento linear inicial zero). As partículas se afastam em sentidos opostos. A resolução começa agora.

Passo 2

Calcular a energia armazenada na mola (energia potencial elástica). A fórmula da energia potencial numa mola linear é
U=\tfrac{1}{2}kx^2,
onde U é a energia em joules, k é a constante elástica em \mathrm{N/m} e x é a compressão (ou elongação) em metros. Substituindo os valores:
U=\tfrac{1}{2}\cdot 1200\cdot(0,1)^2=\tfrac{1}{2}\cdot 1200\cdot 0,01=6\\ \mathrm{J}.
Então a energia disponível para virar energia cinética é 6\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Argumento de conservação do momento linear. Como não há forças externas significativas no sentido horizontal (a mola empurra internamente) e o sistema parte do repouso, o momento linear total do sistema se conserva e é zero ao final. Escrevemos:
m_A v_A + m_B v_B = 0.
Escolho a direção para a qual v_A será positiva; então v_B terá sinal oposto. Isolando v_B:
v_B = -\frac{m_A}{m_B}\,v_A = -\frac{2}{1}v_A = -2v_A.
Isto diz que a velocidade de B tem módulo duas vezes o de A e sentido oposto (por ser mais leve).

Passo 4

Conservação da energia mecânica (toda a energia da mola vira energia cinética das partículas). A energia cinética de uma partícula é dada por
K=\tfrac{1}{2}mv^2,
onde m é a massa e v a velocidade. Então:
\tfrac{1}{2}m_A v_A^2 + \tfrac{1}{2}m_B v_B^2 = U.
Substituímos v_B=-2v_A e U=6\\ \mathrm{J}:
\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot v_A^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot(-2v_A)^2 = 6.
Calculando termo a termo: \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot v_A^2 = 1\cdot v_A^2 = v_A^2. E (-2v_A)^2=4v_A^2, então \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 4v_A^2 = 2v_A^2. Assim:
v_A^2 + 2v_A^2 = 6 \quad\Rightarrow\quad 3v_A^2 = 6.

Passo 5

Resolver para v_A:
v_A^2 = \frac{6}{3} = 2 \quad\Rightarrow\quad v_A = \sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\approx 1,414\\ \mathrm{m/s}.
O sinal positivo segue da nossa escolha de referência (A para a direita). Agora v_B=-2v_A, então
v_B = -2\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\approx -2,828\\ \mathrm{m/s},
o sinal negativo indica que B vai no sentido oposto ao de A. Verificação rápida: energias cinéticas são \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2 = 2\\ \mathrm{J} para A e \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 8 = 4\\ \mathrm{J} para B, somando 6\\ \mathrm{J}, conforme esperado; o momento 2\cdot\sqrt{2}+1\cdot(-2\sqrt{2})=0.

Resposta

v_A = \sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\approx 1,414\\ \mathrm{m/s}
v_B = -2\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\approx -2,828\\ \mathrm{m/s}

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