Demonstre a Equação
, a expressão da meia largura das linhas da figura de difração de uma rede.
Passo 1
Tá, vamos lá! O enunciado pede pra gente demonstrar a equação da meia largura das linhas na figura de difração de uma rede, que é
. A matéria aqui envolve difração em redes de difração, que é quando a luz passa por uma grade com muitas fendas e cria padrões de interferência. Pra resolver isso, vamos precisar entender como a luz interage com a rede e usar um pouco de trigonometria e física de ondas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma rede de difração, a condição para ocorrer interferência construtiva (ou seja, onde vemos os máximos de intensidade) é dada pela equação:
onde:
-
-
-
-
Passo 3
Agora, vamos pensar na largura das linhas de difração. A meia largura
representa a variação angular onde a intensidade da luz está pela metade do máximo. Isso está relacionado à largura do pico de intensidade na figura de difração.
Passo 4
Para encontrar essa meia largura, consideramos que a intensidade tem uma distribuição que depende das fendas da rede. Usamos a relação entre a variação no ângulo e os parâmetros da rede para encontrar como
depende de
,
,
(número de linhas na rede) e
.
Passo 5
A derivação envolve derivar a relação entre a intensidade e o ângulo, e determinar onde a intensidade cai para metade do valor máximo. Ao simplificar essa relação, obtemos a expressão para a meia largura das linhas:
Aqui, o
Resposta
Então, demonstramos que a meia largura das linhas na figura de difração de uma rede é dada por: