Demonstre que a equação e^x=3-2 x tem pelo menos uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
e^x = 3 - 2x
possui pelo menos uma solução real. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário, que afirma que, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então ela tem raiz nesse intervalo.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = e^x - (3 - 2x) = e^x + 2x - 3
O domínio de f é R e, como soma e composição de funções contínuas ( e^x e a função linear 2x-3), f é contínua em todo R.

Passo 3

Avaliamo-la em dois pontos:
f(0) = e^0 + 2cdot0 - 3 = 1 - 3 = -2,
f(1) = e^1 + 2cdot1 - 3 = e - 1 approx 2,718 - 1 = 1,718 > 0

Passo 4

Observamos que
f(0) = -2 < 0e f(1) > 0
Como f é contínua em [0,1] e muda de sinal entre x=0 e x=1, pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin(0,1) tal que
f(c) = 0
Essa condição é equivalente a
e^c = 3 - 2c,
ou seja, c é uma raiz da equação original.

Resposta

A equação e^x = 3 - 2x tem pelo menos uma raiz real no intervalo (0,1).

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