Demonstre que a equação
tem pelo menos uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
possui pelo menos uma solução real. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário, que afirma que, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então ela tem raiz nesse intervalo.
Passo 2
Definimos a função
O domínio de
é
e, como soma e composição de funções contínuas (
e a função linear
),
é contínua em todo
.
Passo 3
Avaliamo-la em dois pontos:
Passo 4
Observamos que
Como
é contínua em
e muda de sinal entre
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
Essa condição é equivalente a
ou seja,
é uma raiz da equação original.
Resposta
A equação
tem pelo menos uma raiz real no intervalo
.