Determine a solução do PVI utilizando o método da Transformada de Laplace, considere y(0)=1 e y^prime(0)=2.
4 y^prime prime+y^prime=sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
4y''+y'=sen(x), y(0)=1,;y'(0)=2
usando transformada de Laplace. Vamos precisar usar as propriedades
Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),
além de decomposição em frações parciais para inverter a transformada.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados:
4l(s^2Y - scdot1 -2r)+l(sY-1r)=1s^2+1
Agrupando termos em Y(s) e isolando:
(4s^2+s)Y(s) = 1s^2+1+4s+9,
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Y(s)=1s^2+1+4s+94s^2+s

Passo 3

Separamos em duas parcelas:
Y(s) =underbrace4s+94s^2+sT1(s) +underbrace1(s^2+1)(4s^2+s)T2(s)
Primeiro T1(s):
4s+94s^2+s =As+B4s+1
Fazendo 4s+9=A(4s+1)+Bs obtemos A=9, B=-32, ou seja
T1(s)=9s-324s+1

Passo 4

Agora T2(s)=1/[s(s^2+1)(4s+1)]. Fazemos
1s(s^2+1)(4s+1) =As+B4s+1+Cs+Ds^2+1
Igualando numeradores e resolvendo o sistema resulta em
A=1, B=-tfrac6417, C=-tfrac117, D=-tfrac417
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T2(s) =1s -64/174s+1 +-tfrac117 s-tfrac417s^2+1 =1s -16/17s+tfrac14 -117,ss^2+1 -417,1s^2+1

Passo 5

Somando T1 e T2:
Y(s) =9s-324s+1 +1s -16/17s+tfrac14 -117,ss^2+1 -417,1s^2+1
Agrupando termos semelhantes:
Y(s) =10s -152/17s+tfrac14 -117,ss^2+1 -417,1s^2+1

Passo 6

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
L^-1tfrac10s=10, L^-1tfrac1s+tfrac14=e^-x/4,
L^-1tfracss^2+1=cos x, L^-1tfrac1s^2+1=sin x
Logo
y(x) =10 -15217,e^-x/4 -117cos x -417sin x

Resposta

boxedy(x) =10-15217e^-x/4 -117cos x -417sin x

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